Question

URGENTE!!!!!!!!!!!!! PRECISO ENTREGAR ESSA TAREFA PARA AMANHÃ :((((((
Se o produto de duas raízes do polinômio P (x)= $x^{3}$-m$x^{2}$-11x+30 é igual a -6, assinale o que for correto.
01- O valor de m é 4
02- Uma das raízes do polinômio P (x) é -5
04- A soma do polinômio P (x) é um número primo.
08- O polinômio P(x) é divísivel por Q (x)= $x^{2}$-7x+10.

Answer 1

Oi, tudo bem?

Vamos fazer tudo primeiro antes de analisar as assertivas.

Irei usar a relação de Girard para resolver o problema.
Ele fala que o produto de duas raízes é -6, então r1*r2*r3-=-d/a

$r1*r2*r3=-\frac { d }{ a } =-\frac { 30 }{ 1 } =-30$

Agora é só trocar esse r1*r2 por -6.

$-6*r3=-30\\ r3=\frac { -30 }{ -6 } =5$

Uma das raízes é 5.
Vamos achar agora o valor de m, para isso é só colocar 5 no lugar de x.

$P(x)=x^{ 3 }-mx^{ 2 }-11x+30\\ P(5)=5^{ 3 }-m(5)^{ 2 }-11(5)+30\\ P(5)=125-25m-55+30\\ P(5)=100-25m\\ 100=25m\\ \frac { 100 }{ 25 } =m\\ \\ 4=m$


Não é necessário mas irei achar as outras raízes usando o Briot Ruffini.


2| 1 -4 -11| 30
     1 -2  -15  0

Agora o polinômio reduziu e é esse.

$x^2-2x-15$

Vou achar as raízes por Soma e Produto.

$S=5+(-3)=2\\ P=5*(-3)=-15$


As raízes desse polinômio é: -3,2,5



Agora vamos analisar o que se pede.

01) ele fala que o m vale 4, e isso é verdadeiro.

02) Ele fala que uma das raízes é -5, e isso é Falso.

04) A soma do polinômio é um número primo.
1-4-11+30=16 Falso

08)
$P(x)=x^3-4x^2-11x+30\quad /\quad x^2-7x+10\\ \quad \quad \quad -x^3+7x^2-10x\quad \quad \quad \quad \quad x+3\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad 3x^2-21x+30\\ \quad \quad \quad \quad \quad -3x^2+21x-30\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 00\quad$

Verdadeiro.


Gabarito=9