Question

URGENTE, POR FAVOR Transformada de Laplace
inversa
F(s)=1/S^3 - 48/S^5

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Primeiro, veja que para uma função na forma

$f(t) = at^n$ com a e n reais, a sua transformada de Laplace será:

$L(f(t)) = \dfrac{a.n!}{s^{n+1}}$

Lembre também que tanto a transformada de Laplace quanto a transformada Inversa são lineares, ou seja:

$L(f(t) + g(t)) = L(f(t)) + L(g(t))$

$L(a.f(t))=aL(f(t))$

Então podemos fazer a transformada inversa do primeiro termo e depois do segundo, no fim, basta subtrair um do outro.

$L^{-1}(\dfrac{1}{s^3}-\dfrac{48}{s^5}) = L^{-1}(\dfrac{1}{s^3})-L^{-1}(\dfrac{48}{s^5})$

Veja que $L(t^2) = \dfrac{2!}{s^3} = \dfrac{2}{s^3}$

É a nossa primeira parte, a menos daquele dois lá em cima, então vamos querer eliminar esse 2. Para isso, podemos dividir a função por 2:

$\dfrac{1}{2}\dfrac{2}{s^3} = \dfrac{1}{s^3}$

Mas para isso, precisaremos dividir por 2 também a função que usamos de entrada para a Transformada de Laplace, podemos fazer isso justamente porque 2 é uma constante e a Transformada de Laplace é linear:

$L(t^2) = \dfrac{2}{s^3}$

$\dfrac{1}{2}L(t^2) = \dfrac{1}{2}\dfrac{2}{s^3} = \dfrac{1}{s^3}L(\dfrac{t^2}{2})$

Com um raciocínio semelhante para o segundo termo:

$L(t^4) = \dfrac{4!}{s^5} = \dfrac{24}{s^5}$

$2.L(t^4)=\dfrac{2.24}{s^5} = \dfrac{48}{s^5} = L(2t^4)$

Assim, a transformada inversa da nossa função é:

$\dfrac{t^2}{2}-2t^4$