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Função Polinomial do l" grau: a noção de função via conjuntos, definição, valor de uma função, função linear, função constante, coeficientes da função gráfico da função, função crescente ou decrescente, zero da função, estudo de sinal da função
Soluções para a tarefa
Resposta:
A função determina uma relação entre os elementos de dois conjuntos. Podemos defini-la utilizando uma lei de formação, em que, para cada valor de x, temos um valor de f(x). Chamamos x de domínio e f(x) ou y de imagem da função.
A formalização matemática para a definição de função é dada por: Seja X um conjunto com elementos de x e Y um conjunto dos elementos de y, temos que:
F O T O
Assim sendo, cada elemento do conjunto x é levado a um único elemento do conjunto y. Essa ocorrência é determinada por uma lei de formação.
A partir dessa definição, é possível constatar que x é a variável independente e que y é a variável dependente. Isso porque, em toda função, para encontrar o valor de y, devemos ter inicialmente o valor de x.
Resposta:
Toda função polinomial de expoente igual a 1
A função afim, definida pela formação f(x) = ax + b ou y = ax + b, é classificada como função de primeiro grau, sendo os coeficientes a e b números reais e diferentes de zero. Como o grau de uma função é decidido pela maior potência da variável independente (x), no caso da função afim o expoente também é igual a 1 (x¹).
Nesse tipo de função polinomial de primeiro grau o valor de "a" é chamado de taxa de variação ou coeficiente angular, e o "b" de valor inicial ou coeficiente linear.
F(x) = 2x + 7 (a = 2 e b = 7); y = - 4x (a = - 4 e b = 0) e f(x) = 1/5x + 1/8 (a = 1/5 e b = 1/8) são exemplos de função afim.
Gráfico da Função Afim
O gráfico da função afim é representado por uma reta. O valor da taxa de variação da função que determina se a ela é do tipo crescente ou decrescente.
• Caso a seja maior que zero, a função é crescente;
• Caso a seja menor que zero, a função é decrescente;
• Se a função for crescente, o ângulo entre a reta e o eixo x será agudo (menor que 90°);
• Se a função for decrescente, o ângulo entre a reta e o eixo x será obtuso (maior que 90°).
A função 2x – 1, por exemplo, é crescente, pois o valor de a = 2 (maior que zero). Já - x + 4 é vista como decrescente porque o valor de a = - 1 (menor que zero). Observe nos gráficos abaixo:
Gráfico da função crescente. ( Foto: Educa Mais Brasil)
Gráfico da função decrescente. ( Foto: Educa Mais Brasil)
É necessário determinar dois pontos para traçar a reta do gráfico: pela raiz da função e substituição do x pelo valor de zero (y = b):
f(x) = ax + b
f(x) = a . 0 + b
y = b
Raiz
A raiz de uma função afim é o ponto que corta o eixo x (abscissa), isto é, no período em que y = 0. Com isso, basta substituir o valor de y por 0 que a raiz será definida.
f(x) = ax + b
0 = ax + b
ax = -b
x = -b/a
As funções de primeiro grau possuem somente uma raiz e, como já sabemos, duas coordenadas (b, -b/a).
Coeficientes da Função Afim
Em f(x)= ax +b, o valor de a é identificado como taxa de variação (crescimento) ou de coeficiente angular porque aponta o quanto a função pode crescer e a inclinação da reta em relação ao eixo da abscissa (x) no plano cartesiano.
Já o termo b, que é constante, é identificado como coeficiente linear da função porque define o ponto onde a reta corta o eixo y do gráfico quando x = 0. Em f(x) = 3x + 10 a função irá cortar o eixo das ordenadas (y) no ponto (0,10), pois f(0) = 3.0+10 = 10.
Categorias da Função Afim
Existem três classificações da função afim: linear, identidade e constante. Entenda as características de cada uma delas.
Constante
Uma função afim é considerada como constante se f(x) = b, isto é, quando o coeficiente angular é igual a zero. Nessa categoria o gráfico apresentará uma reta paralela ao eixo da abscissa (x), cortando o y no ponto b.
Dado f(x) = 2x + 3, o gráfico será interceptado no eixo 3, pois:
f(x) = 2.0+3
f(x) = 3
Exemplo de gráfico constante. (Foto: Educa Mais Brasil)
Identidade
Uma função afim se enquadra como identidade se f(x) = x, ou seja, quando o coeficiente angular é igual a 1 e o coeficiente linear igual a zero (a = 1; b = 0). Nessas situações a reta passará pela origem (0,0).
A semirreta que separa o ângulo em dois de mesmo tamanho é chamada de bissetriz. Ela também é identificada como reta dos quadrantes ímpares (1° e 3°).
Exemplo de gráfico identidade. (Foto: Educa Mais Brasil)
Linear
Uma função afim é considerada como linear se f(x) = ax, sendo o coeficiente angular diferente de zero e o coeficiente linear igual a zero (b = 0). Nesses casos a reta passará pela origem (0,0).
As funções f(x) = 2x; f(x) = - 6x ou f(x) = 1/3 são lineares. No gráfico abaixo temos a representação do primeiro exemplo:
Exemplo de gráfico linear.