Question

URGENTE, por favor.
Considere os vetores... Marque a alternativa correta sobre w, A e B.

Answer 1

$\mathbf{w}$ não é combinação linear dos elementos de A e B é base para R³.

$\dotfill$

Diante das informações sobre os vetores e os conjuntos dados, temos:

• $\mathbf{w}$ não é combinação linear dos elementos nem de A, nem de B.

Falso. Se $\mathbf{w}$ é combinação linear dos elementos de A, logo existe a₁, a₂, a₃ tal que:

a₁$\mathbf{v}_{1}$ + a₂$\mathbf{v}_{2}$ + a₃$\mathbf{v}_{3}$ =    $\mathbf{w}$

Ou seja,

a₁(1,-7,-4) + a₂(0,1,12) + a₃(-1,4,-32)=(-5,-4,8)

Contudo, ao resolver o sistema, ele não tem solução. Logo, $\mathbf{w}$ não é combinação linear dos elementos de A.

Com os elementos de B,

a₁$\mathbf{v}_{1}$ + a₂$\mathbf{v}_{2}$ + a₃$\mathbf{v}_{4}$ =    $\mathbf{w}$

Ou seja,

a₁(1,-7,-4) + a₂(0,1,12) + a₃(-12,5,-7)=(-5,-4,8)

Ao resolver o sistema, ele possui a solução $(-\frac{29}{893},\frac{844}{893},-\frac{368}{893})$. Logo, $\mathbf{w}$ é combinação linear dos elementos de B.

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• $\mathbf{w}$ não é combinação linear dos elementos de A e B é base para R³.

Verdadeiro. Viu-se do item acima que  $\mathbf{w}$ não é combinação linear dos elementos de A. Para que B seja uma base para $\mathbb{R}^3$, os vetores $\mathbf{v}_{1}$ ,$\mathbf{v}_{2}$  e $\mathbf{v}_{4}$ dever sem linearmente independentes. Ou seja, o sistema:

a$\mathbf{v}_{1}$ + b$\mathbf{v}_{2}$  + c$\mathbf{v}_{4}$ = (0,0,0)

deve possuir apenas a solução trivial.

Ao resolver o sistema, verifica-se que ele possui apenas a solução trivial (tente fazer!). Ou, de outra forma, o determinante da matriz que tem os vetores  $\mathbf{v}_{1}$ ,$\mathbf{v}_{2}$  e $\mathbf{v}_{4}$ como linha não é nulo.

Logo, B é uma base para $\mathbb{R}^3$.

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• $\mathbf{w}$ não é combinação linear dos elementos de B e A é base para R³.

Falso. Do primeiro item, $\mathbf{w}$ é combinação linear dos elementos de B.

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• $\mathbf{w}$ não é combinação linear dos elementos de B e A é base para R³.

Falso. Do primeiro item, $\mathbf{w}$ é combinação linear dos elementos de B. Contudo, A não é base para R³. Basta ver que o sistema:

a$\mathbf{v}_{1}$ + b$\mathbf{v}_{2}$  + c$\mathbf{v}_{3}$ = (0,0,0)

possui uma solução não trivial. De outra forma, o determinante da matriz é zero.

$\dotfill$

• $\mathbf{w}$ não é combinação linear dos elementos de B e A é base para R³.

Falso. Do primeiro item, $\mathbf{w}$ não é combinação linear dos elementos de A.

Até mais!