Question

Urgente! Pode responder só duas alternativas pra tirar minha dúvida!

Answer 1

Se $f: \mathbb{R}^+ \setminus \{1\} \to \mathbb{R}$ é a função dada por:

$f(x) = \sqrt{x} + \dfrac{2}{1-\sqrt{x}},$

então temos:

a) $f(0) = \sqrt{0} + \dfrac{2}{1-\sqrt{0}} = 0 + \dfrac{2}{1} = 2.$

b) $f(9) = \sqrt{9} + \dfrac{2}{1-\sqrt{9}} = 3 + \dfrac{2}{1-3} = 3 + \dfrac{2}{-2} = 3-1 = 2.$

c) $f(3) = \sqrt{3} + \dfrac{2}{1-\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}(1-\sqrt{3})}{1-\sqrt{3}} + \dfrac{2}{1-\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3} - 3 + 2}{1 - \sqrt{3}} = \dfrac{-1 + \sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} =\\\\= -\dfrac{1-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} = -1.$

d) $f\left(\dfrac{1}{9}\right) = \sqrt{\dfrac{1}{9}} + \dfrac{2}{1-\sqrt{\frac{1}{9}}} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{1-\frac{1}{3}} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{\frac{2}{3}} = \dfrac{1}{3} + 3 = \dfrac{1}{3} + \dfrac{9}{3} = \dfrac{10}{3}.$

e) o elemento cuja imagem é $0$ corresponde à solução da equação seguinte:

$f(x) = 0 \iff \sqrt{x} + \dfrac{2}{1-\sqrt{x}} = 0 \iff \dfrac{\sqrt{x}(1-\sqrt{x})}{1-\sqrt{x}} + \dfrac{2}{1-\sqrt{x}} = 0 \iff \\\\\iff \dfrac{\sqrt{x} - x + 2}{1-\sqrt{x}} = 0 \underset{x \neq 1}{\iff} \sqrt{x} - x + 2 = 0 \iff \sqrt{x} = x - 2.$

Podemos agora elevar ambos os lados da igualdade ao quadrado e aplicar o caso notável do quadrado do binómio:

$\underset{x \geq 0}{\implies} x = (x-2)^2 \iff x = x^2 - 2 \times x \times 2 + 4 \iff x = x^2 - 4x + 4 \iff \\\\\iff x^2 - 5x + 4 = 0 \iff (x-4)(x-1) = 0 \iff x = 4 \textrm{ ou } x = 1.$

Obtivemos assim duas soluções. Notamos desde já que $x=1$ não pertence ao domínio da função, pelo que não pode ser considerado. Quanto à solução $x=4$, teremos de a verificar, uma vez que ao elevar ambos os membros ao quadrado introduzimos soluções estranhas. Tem-se então:

$f(4) = \sqrt{4} + \dfrac{2}{1-\sqrt{4}} = 2 + \dfrac{2}{1-2} = 2 + \dfrac{2}{-1} = 2-2 = 0,$

pelo que o elemento do domínio cuja imagem é $0$ é $x=4$.