Question

URGENTE PFVR

Demostre como se chega ao número irracional (fi) =
, … utilizando segmento de reta.

Answer 1

Olá,

Primeiramente, excelente pergunta!

Para resolver isso, vamos tomar um segmento de reta dividido em duas partes: a parte maior será x e a parte menor será y. Desta forma:

x y

------------------------------------|---------------

Agora, suponha que exista estes dois números x e y de tal forma que a razão entre a sua soma e x seja igual a razão entre x e y. Se essa igualmente existe, ela é definida como a razão áurea ou número de ouro ou ainda proporção divina. É representada pela letra grega $\tt \phi.$

Desta forma:

$\tt \phi \: = \dfrac{x + y}{x} = \dfrac{x}{y}$

Vamos fazer alguns testes:

Sejam:

$\tt \: x = 5 \\ \tt \: y = 3$

Então:

$\tt \phi \: \approx \dfrac{5 + 3}{5} = \dfrac{8}{5} =1{,}6$

Bem como:

$\tt \phi \: \approx \dfrac{5 }{3} =1{,}666 \cdots$

Vamos tomar mais dois números:

$\tt \: x = 55 \\ \tt \: y = 34$

Temos:

$\tt \phi \: \approx \dfrac{55 + 34}{55} = \dfrac{89}{55} =1{,}6181 \cdots$

Assim:

$\tt \phi \: \approx \dfrac{55 }{34} =1{,}6176 \cdots$

Cada vez que você aumenta isso aí, os números estão cada vez mais próximos. Eles convergem para o número de ouro.

Vamos determinar por álgebra o número de ouro partindo do segmento de reta que já esboçamos. Então temos:

$\tt \phi \: = \dfrac{x + y}{x} = \dfrac{x}{y}$

Então, pela igualdade:

$\tt \phi \: = \dfrac{x + y}{x} \: \: \: \: (1)$

Como também:

$\tt \phi \: = \dfrac{x}{y} \: \: \: \: (2)$

Partindo disso, vamos tomar a igualmente (1) para o número de ouro:

$\tt \phi \: = \dfrac{x + y}{x}$

Vamos manipular a soma de frações:

$\tt \phi \: = \dfrac{x}{x} + \dfrac{ y}{x}$

Isto é:

$\tt \phi \: = 1+ \dfrac{ y}{x} \: \: \: \: (3)$

Agora, partindo de (2), observe que:

$\tt \phi \: = \dfrac{x}{y} \to \: \dfrac{1}{ \phi} = \dfrac{y}{x}$

Substituindo isso na expressão (3):

$\tt \phi \: = 1+ \dfrac{1}{ \phi}$

Multiplicando a equação acima pelo número de ouro:

$\tt { \phi}^{2} = \phi + 1$

Ou seja:

$\tt { \phi}^{2} - \phi - 1 = 0$

Vamos resolver a equação do segundo grau acima:

$\tt \phi = \dfrac{ - ( - 1) \pm{ \sqrt{( - {1)}^{2} - 4(1)( - 1)} }}{2(1)}$

$\tt \phi = \dfrac{ 1 \pm{ \sqrt{1 + 4} }}{2}$

$\tt \phi = \dfrac{ 1 \pm{ \sqrt{5} }}{2}$

Observe que já sabemos que $\tt \phi > 0$, então vamos tomar a parte positiva.

$\tt \phi = \dfrac{ 1 + { \sqrt{5} }}{2}$

Assim, temos o número que procuramos:

$\boxed{ \tt \phi = \dfrac{ 1 + { \sqrt{5} }}{2} = 1{,}61803398 \cdots}$