Question

URGENTE PFFF : Se cosx = (√5)/3 e tgx > 0, o valor de y = tg²x + 2senx é:
A) 32/15
B) 15/31
C) (36 + 20√3)/15
D) (√5)/15

Answer 1

 Sabemos que $Tan(x)=\dfrac{Sin(x)}{Cos(x)}$, então se $Cos(x)>0$, para que $Tan(x)$ seja maior que 0, $Sin(x)$ também terá que ser.

 Agora para encontrar o valor de y, será preciso saber o valor de $Sin(x)$, que poderemos encontrar pela relação fundamental da trigonometria, que é a seguinte:

$Sin^2(x)+Cos^2(x)=1$

 Temos o valor de $Cos(x)$, então basta substituir na fórmula e encontrar o que nos é desejado.

-x-

$Sin^2(x)+(\dfrac{\sqrt{5}}{3})^2=1\\\\Sin^2(x)+\dfrac{5}{9}=1\\\\Sin^2(x)=1-\dfrac{5}{9}\\\\Sin^2(x)=\dfrac{4}{9}\\\\Sin(x)=\pm\sqrt{\dfrac{4}{9}}\\\\Sin(x)=\pm\dfrac{2}{3}$

 Como foi visto antes, $Sin(x)>0$, então $Sin(x)=\dfrac{2}{3}$. Agora com isso podemos encontrar o valor da tangente:

$Tan(x)=\dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{\sqrt{5}}{3}}\\\\Tan(x)=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{\sqrt{5}}\\\\Tan(x)=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$

 E por fim podemos encontrar o valor de y:

$y=Tan^2(x)+2\cdot Sin(x)\\\\y=(\dfrac{2}{\sqrt{5}})^2+2\cdot\dfrac{2}{3}\\\\y=\dfrac{4}{5}+\dfrac{4}{3}\\\\y=\dfrac{32}{15}$

Dúvidas só perguntar!