Question

URGENTE!!!

o triângulo ABC representado abaixo é equilátero e tem área 2√3 cm². As circunferências têm centro em A, B e C.

Calcule a área da região pintada de azul.

Answer 1

Resposta:

A área azul é de 15,70 cm²

Explicação passo a passo:

Ao observarmos o raio de cada circulo vale a metade do lado do triangulo A, B e C. Então teremos:

$R=\frac{L}{2}$

Para encontrarmos o valor do raio vamos usar Pitágoras para encontrar o valor de "h"

$l^{2} =h^{2} + R^{2} \\l^{2} =h^{2} +(\frac{l}{2} )\\l^{2} =h^{2}+\frac{l^{2} }{4} \\\frac{l^{2-} l^{2} }{4} =h^{2} \\\frac{3}{4} *l^{2} =h^{2} \\h^{2}=\frac{3}{4} *l^{2}\\h=\sqrt{\frac{3}{4} *l^{2}} \\h=\sqrt{\frac{3*l^{2}}{2} } \\h= \sqrt{\frac{3l}{2} } \\h=\frac{l}{2} *\sqrt{3}$

Agora vamos encontrar o valor de cada lado do triangulo encontrando o "L".

$A=\frac{b*h}{2} \\A=l*\frac{\frac{l}{2\sqrt{3} } }{2} \\A=\frac{l^{2}\sqrt{3} }{4} \\2\sqrt{3} =\frac{l^{2}\sqrt{3} }{4} \\2\sqrt{3} =\frac{\sqrt{3l^{2}} }{4} \\\frac{\sqrt{3l^{2}} }{4}=2\sqrt{3}\\\frac{\sqrt{3} }{4} *\frac{\sqrt{3} }{4}=2\sqrt{3}*\frac{\sqrt{3} }{4}\\l^{2} =2*4\\l^{2}=8\\l=\sqrt{8} \\l=\sqrt{2^{3} } =\sqrt{2^{2+1} } \\l=\sqrt{2^{2} } *\sqrt{2} \\l=\sqrt{4}*\sqrt{2} \\l=2\sqrt{2}$

Agora é só encontrar o Raio "r".

$R=\frac{L}{2} \\R=\frac{2\sqrt{2} }{2}\\R=\sqrt{2}$
Agora vamos encontrar a Região Azul

$A(azul)=3*A(circulo)-3*A(Setor)$

$A(azul)=3*\pi *r^{2} -3*\frac{\pi *r^{2} *(60)}{(360)}$

$Ac=3*3,14*(\sqrt{2})^{2} \\ Ac=3*3,14*2\\Ac=3*6,28\\Ac=18,84\\\\As=-3*3,14*\frac{(\sqrt{2})^{2}*60 }{360} \\As=-\frac{3,14*2*60}{120} \\As=-\frac{6,28*60}{120}\\ As=-\frac{376,8}{120} \\As=-3,14$

Agora é só diminuir a área do circulo pela área do setor circular que encontramos a área da região azul.

$A(azul)= 18,84-3,14\\A(azul)=15,70cm^{2}$