Question

(URGENTE !) Num estudo do desenvolvimento de uma certa espécie de inseto, determinou-se que a porcentagem de ovos dessa espécie que chocam a uma temperatura T (em graus Celsius) é dada por:
P1(T) = −0,1T² + 6T −3, que corresponde às larvas que sobrevivem.
Além disso, determinou-se que a porcentagem das larvas desse inseto que sobrevive à fase de pupa é dada por
P2(T) = −0,1T² + 5T + 2,5, para 10ºC ≤ T ≤ 50 ºC.


(a) Para que temperatura a porcentagem de insetos que sobrevivem à fase de ovo e se tornam larvas é máxima? Qual a porcentagem de sobrevivência nesse caso?


(b) Para que temperatura a porcentagem de larvas de inseto que sobrevivem à fase de pupa e se tornam insetos adultos é máxima? Qual a porcentagem nesse caso?


(c) Admita que todas as larvas consigam atingir a fase de pupa.Nesse caso, qual a porcentagem máxima de sobrevivência dessa espécie de inseto?

DICA: Lembre-se do ciclo de desenvolvimento: ovo → larva → pupa → adulto. A porcentagem final de sobrevivência para a fase adulta é igual ao produto das porcentagens de sobrevivência em cada fase. Encontre a função e aplique o teste da primeira derivada para determinar o seu máximo.

Answer 1

O valor máximo de P1(T) e P2(T) pode ser calculada pelas coordenadas do vértice dessas parábolas, ou seja:

xv = -b/2a

yv = -Δ/4a

a) Calculando as coordenadas do vértice, temos:

xv = -6/2(-0,1)

xv = 30

yv = -(6² - 4.(-0,1).(-3))/4.(-0,1)

yv = 87

Logo, a porcentagem máxima de sobrevivência da fase de ovo é 87% e a temperatura deve ser de 30° C.

b) Da mesma forma:

xv = -5/2(-0,1)

xv = 25

yv = -(5² - 4.(-0,1).2,5)/4.(-0,1)

yv = 65

Logo, a porcentagem máxima de sobrevivência da fase de pupa é 65% e a temperatura deve ser de 25° C. De todas as larvas, a porcentagem que sobrevive desde a fase de ovo até a fase adulta é 60,12%.