Question

URGENTE!!

Na figura, o arco AC é um quarto de uma circunferência de centro D e o arco AB é um oitavo de uma circunferência de centro C. O segmento AD mede 2 cm. Determine a área, em cm², da região sombreada. ​

Answer 1

Boa Tarde!

Primeiro, descobrimos o raio da circunferência de centro C

${2}^{2} + {2}^{2} = {x}^{2} \\ 4 + 4 = {x}^{2} \\ {x }^{2} = 8 \\ x = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$

Agora que sabemos o valor do raio, vamos achar a área do setor CAB completo:

$\pi{r}^{2} \\ \pi { (2 \sqrt{2} })^{2} \\ 8\pi$

Agora dividimos por 8 já que é um oitavo de circunferência:

$\frac{8\pi}{8} = \pi$

Agora achamos a área da outra circunferência, de raio D

$\pi {r}^{2} \\ \pi {2}^{2} \\ 4\pi$

Agora, para descobrirmos a área do espaço dentro do menor setor, precisarmos remover a área do triângulo retângulo que há ali:

$\frac{2 \times 2}{2} \\ \frac{4}{2} = 2$

Então a área do espaço é:

$\frac{4\pi}{4} - 2 \\ \pi - 2$

Por fim, subtraímos a área do setor menor pela área de espaço que há nele:

$\pi - (\pi - 2) \\ \pi - \pi + 2 \\ 2$

A área da região sombreada é de 2cm²

Bons Estudos! :D