Question

URGENTE Na figura abaixo, área do retângulo é igual a 66 cm² e a soma das áreas dos quadrados azul e verde é igual a 78 cm². Qual o comprimento do segmento AB?

Answer 1

o quadrado azul tem a medida das laterais iguais a "x"
o quadrado verde tem a medida das laterais iguais a "y"

a distancia AB é x+y

area do quadrado azul
$A_{Azul}=x^2$

area do quadrado verde
$A_{verde}=y^2$

soma das areas do quadrado azul e verde é 78
$\boxed{\boxed{x^2+y^2= 78}} \to \text{equacao 1}$

a area do retangulo (base vezes altura) 
base do reangulo = diagonal do quadrado verde = y√2
altura do retangulo = diagonal do quadrado azul = x√2

area do retangulo
$A_{retangulo}= x \sqrt{2}*y \sqrt{2} \\\\ 66 = x \sqrt{2}*y \sqrt{2} \\\\66=xy*( \sqrt{2})^2 \\\\66=xy*2\\\\ \frac{66}{2}=xy \\\\\boxed{\boxed{ \frac{33}{y} =x}}$

substituindo o valor de x na equação 1
$x^2+y^2= 78\\\\ ( \frac{33}{y} )^2+y^2=78\\\\ \frac{1090}{y^2} +y^2=78\\\\1090+y^4=78y^2\\\\ y^4-78y^2+1090=0$

resolvendo y²=u
$u^2-78u+1090=0 \to\text{usando bhaskara }\\\\ u= 39-\sqrt{431} \;\;ou \;\;u= 39+\sqrt{431}\\\\ u = 39- \sqrt{431} \\\\\text{como }y^2=u\\\\ y= \sqrt{39- \sqrt{431} } \; ou \; y= \sqrt{39+ \sqrt{431} }$


encontrando o valor de x 
$\frac{33}{ \sqrt{39\pm \sqrt{431} }} = x$


encontrando AB
$AB= \sqrt{39+ \sqrt{431}} + \frac{33}{ \sqrt{39+ \sqrt{431} }} \\ ou \\ AB =\sqrt{39- \sqrt{431}} + \frac{33}{ \sqrt{39 - \sqrt{431} }}$