Question

Urgente
...
Encontre a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de $y=f\left(x\right)=x^2$ no ponto de abscissa -2.

Answer 1

Ola Daphinne 

y = f(x) = x² 

equação da tangente

y - f(x) = m*(x + 2)

f(-2) = 4

y - 4 = m*(x + 2)

m = f'(x) = 2x

m = f'(-2) = 2*(-2) = -4

equação da reta tangente

y - 4 = -4*(x + 2)
y - 4 = -4x - 8

y = -4x - 4

a equação da reta normal é perpendicular à reta tangente nesse ponto. 

m2 = -1/m1 = 1/4

y - 4 = 1/4*(x + 2)
4y - 16 = x + 2
4y = x + 18

equação da reta normal

y =  (x + 18)/4 

Answer 2

$\large\begin{array}{l} \textsf{Equa\c{c}\~ao da reta tangente ao gr\'afico de f(x), no ponto}\\ \mathsf{x=p:}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{t:~~y-f(p)=f'(p)(x-p)} \end{array}}\\\\ \textsf{onde }\mathsf{f'(p)}\textsf{ \'e o valor da derivada de f em }\mathsf{x=p.} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Nesta tarefa temos}\\\\ \mathsf{f(x)=x^2}\\\\ \mathsf{f'(x)=2x}\\\\ \mathsf{p=-2}\\\\\\ \textsf{Computando o valor da fun\c{c}\~ao e da derivada em }\mathsf{x=-2,}\\\textsf{temos} \end{array}$

$\large\begin{array}{l} \mathsf{f(-2)=(-2)^2=4}\\\\ \mathsf{f'(-2)=2\cdot (-2)=-4}\\\\\\ \textsf{e a equa\c{c}\~ao da reta tangente \'e}\\\\ \mathsf{t:~~y-f(-2)=f'(-2)(x-(-2))}\\\\ \mathsf{t:~~y-4=-4(x+2)}\\\\ \mathsf{t:~~y-4=-4x-8}\\\\ \mathsf{t:~~y=-4x-8+4}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{t:~~y=-4x-4} \end{array}} \end{array}$

___________

$\large\begin{array}{l} \textsf{Equa\c{c}\~ao da reta normal ao gr\'afico de f(x), no ponto}\\ \mathsf{x=p:}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{n:~~y-f(p)=-\,\dfrac{1}{f'(p)}(x-p)} \end{array}}\\\\ \textsf{onde }\mathsf{f'(p)}\textsf{ \'e o valor da derivada de f em }\mathsf{x=p.} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Com os valores conhecidos para esta tarefa, a equa\c{c}\~ao}\\\textsf{da reta normal procurada \'e}\\\\ \mathsf{n:~~y-f(-2)=-\,\dfrac{1}{f'(-2)}(x-(-2))}\\\\ \mathsf{n:~~y-4=-\,\dfrac{1}{(-4)}(x+2)}\\\\ \mathsf{n:~~y-4=\dfrac{1}{4}\,x+\dfrac{2}{4}}\\\\ \mathsf{n:~~y=\dfrac{1}{4}\,x+\dfrac{2}{4}+4}\\\\ \mathsf{n:~~y=\dfrac{1}{4}\,x+\dfrac{2}{4}+\dfrac{16}{4}} \end{array}$

$\large\begin{array}{l} \mathsf{n:~~y=\dfrac{1}{4}\,x+\dfrac{2+16}{4}}\\\\ \mathsf{n:~~y=\dfrac{1}{4}\,x+\dfrac{18}{4}}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{n:~~y=\dfrac{1}{4}\,x+\dfrac{9}{2}} \end{array}} \end{array}$


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$\large\begin{array}{l} \textsf{D\'uvidas? Comente.}\\\\\\ \textsf{Bons estudos! :-)} \end{array}$


Tags: equação reta tangente normal gráfico função derivada cálculo diferencial