Question

URGENTE: Em um triângulo retângulo de lados (x + 1, x, x-7), qual o cosseno do MENOR ângulo?

Answer 1

Olá, bom dia.

Consideremos o triângulo retângulo de lados $x+1,~x$ e $x-7$.

Sabendo que a hipotenusa é o maior lado do triângulo, considere o triângulo da imagem em anexo.

Logo, sendo a hipotenusa o lado de medida $x+1$ e os catetos iguais a $x$ e $x-7$, devemos determinar o cosseno do menor ângulo.

Neste caso, lembre-se que o cosseno de um ângulo é calculado pela razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa.

Logo, para cada um dos ângulos $\alpha$ e $\beta$ mostrados na imagem em anexo, existe um valor para o cosseno.

Porém, ao analisarmos a tabela de ângulos, observa-se que quanto menor o ângulo, maior é o cosseno.

Ou seja, quanto maior o cateto adjacente, menor será o ângulo cujo cosseno calcularemos.

Como podemos ver, temos os catetos $x$ e $x-7$. Facilmente deduz-se que o cateto maior tem medida $x$.

Ao observar a imagem, conclui-se que o menor ângulo será $\alpha$ e seu cosseno será calculado por:

$\cos(\alpha)=\dfrac{x}{x+1}$

Então, devemos encontrar o valor de $x$. Para isso, utilizamos o Teorema de Pitágoras:

$x^2+(x-7)^2=(x+1)^2$

Calcule as potências

$x^2+x^2-14x+49=x^2+2x+1$

Subtraia $x^2+2x+1$ em ambos os lados da equação e cancele os termos opostos

$x^2-16x+48=0$

Utilizando a fórmula resolutiva para calcularmos as soluções desta equação quadrática, obtemos:

$x=4~~~\mathbf{ou}~~~x=12$

Porém, como se trata de uma figura geométrica, o valor de $x-7$ deve ser maior que zero.

Assim, assumimos somente a solução $x=12$.

Substituindo este valor na fórmula para calcular o cosseno, teremos

$\cos(\alpha)=\dfrac{12}{12+1}$

Some os valores

$\cos(\alpha)=\dfrac{12}{13}$

Este é o valor do cosseno que procurávamos.