Question

URGENTE !!!! Em determinada prova de concurso público, cada acerto vale +1 ponto, cada erro vale -1 ponto e resposta em branco vale 0 pontos. No total são 60 itens a serem respondidos. O candidato Carlos fez apenas deixou metade em branco, respondeu com toda certeza de que está certo 15 questões (e vamos considerar que acertou elas) e chutou as demais 15. Qual a probabilidade de que nosso candidato tenha obtido nota total 20 ou maior que 20 somando todos os pontos? Use a formula de fatorial

Answer 1

São 60 questões no total e sabemos que 30 delas somam 0 pontos ao total. Das 30 restantes, sabemos que ele acertou 15 (15 pontos) e chutou as outras 15.

A questão pede todas as situações que ele consegue pelo menos 5 pontos nas 15 que ele chutou.

Calculando o conjunto universo:

Para cada uma das 15, ou ele ganha 1 ponto, ou ganha -1 pontos. Existem $2^{15}$ possibilidades.

Calculando de quantas formas ele pode pontuar 5:

Isso pode acontecer de $C_{10,15}$ formas (escolhendo 10 acertos em 15).

Calculando de quantas formas ele pode pontuar 6:

Isso é impossível.

Calculando de quantas formas ele pode pontuar 7:

Isso pode acontecer de $C_{11,15}$ formas (escolhendo 11 acertos em 15).

....

Calculando de quantas formas ele pode pontuar 13:

Isso pode acontecer de $C_{14,15}$ formas (escolhendo 14 acertos em 15).

Calculando de quantas formas ele pode pontuar 14:

Isso é impossível.

Calculando de quantas formas ele pode pontuar 15:

Isso pode acontecer de $C_{15,15}$ formas (escolhendo 15 acertos em 15).

A probabilidade procurada é:

$P = \dfrac{C_{10,15}+C_{11,15}+C_{12,15}+C_{13,15}+C_{14,15}+C_{15,15}}{2^{15}}$

$P = \dfrac{309}{2048}$