Matemática, perguntado por pieceprofessor, 7 meses atrás

URGENTE!! Determine o valor de k, para que os gráficos da função f(x) = 2x² - 4x + (k + 3) = 0 tenha um único ponto em comum com o eixo das abcissas.

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

Para que o gráfico da função $\boldsymbol{f(x)=2x^2-4x+(k+3)}$ tenha um único ponto em comum no eixo da abcissas, k deve ser igual a – 1.

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Considerações

É sabido que o valor do discriminante (ou delta), cujo é dado por Δ = b² – 4ac, nos define alguns comportamentos do gráfico de uma função do 2º grau, pois com ele sabemos o número de zeros (ou raízes), se são reais e diferentes, se são reais e iguais, ou se não são reais:

$\\\boldsymbol{\large\begin{array}{l}\bullet~~Se~\Delta > 0~\to~x_1~e~x_2\in\mathbb{R}~~com~~x_1\neq x_2\\\\\bullet~~Se~\Delta=0~\to~x_1~e~x_2\in\mathbb{R}~~com~~x_1=x_2\\\\\bullet~~Se~\Delta < 0~\to~x_1~e~x_2\notin\mathbb{R}\end{array}}\\\\$

Essas características estão diretamente relacionadas com o gráfico, pois os zeros se situam no eixo das abscissas (ou eixo x). Logo, se uma função:

tiver duas raízes reais e diferentes, o gráfico ira cortar o eixo x em dois pontos distintos;
tiver duas raízes reais e iguais, o gráfico ira cortar o eixo x em um único ponto;
não tiver raízes reais, o gráfico não irá cortar o eixo x.

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Voltando à questão

Portanto, se desejamos determinar o valor de k na função f(x) = 2x² – 4x + (k + 3) de coeficientes a = 2, b = – 4 e c = k + 3, de modo que seu gráfico tenha um único ponto em comum com o eixo x, então o valor de seu discriminante deve ser nulo, i.e, deve ser igual a zero:

$\\\boldsymbol{\large\begin{array}{l}\Delta=0\\\\b^2-4ac=0\\\\(-\,4)^2-4\cdot(2)\cdot(k+3)=0\\\\16-8\cdot(k+3)=0\\\\8\cdot(k+3)=16\\\\k+3=\dfrac{16}{8}\\\\k+3=2\\\\k=2-3\\\\\!\boxed{k=-\,1}\end{array}}\\\\$

R: Dessarte, se k = – 1 a função terá duas raízes reais e iguais, e então seu gráfico terá um único ponto em comum com o eixo x.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$