Question

Urgente. Determine a equação da reta que passa pelo ponto P=(2,3) e é perpendicular a reta 2x-3y+1=0

Answer 1

Primeiro passamos a equação da reta descrita para a forma reduzida:

$2x-3y+1=0\\-3y=-2x-1\\3y=2x+1$

$y=\frac{2x+1}{3}$

$y=\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}$

Por que fizemos essa transformação? Porque nesta forma nós sabemos que o coeficiente angular da reta informada é $\frac{2}{3}$.

Para que uma reta seja perpendicular a outra, é necessário que o produto (resultado da multiplicação) dos seus coeficientes angulares seja igual a -1. Chamando o coeficiente angular da reta que queremos descobrir de "m" temos como verdadeira a seguinte equação:

$m.\frac{2}{3}=-1$

$m=-1/\frac{2}{3}$

$m=-1.\frac{3}{2}$

$m=-\frac{3}{2}$

O ponto "P" nos dá um par ordenado para substituirmos "x" e "y", e já sabemos o coeficiente angular "m". A partir da definição da equação reduzida da reta nós descobrimos o coeficiente linear "n":

$mx+n=y$

$-\frac{3}{2}.2+n=3$

$-\frac{6}{2}+n=3$

$n=3+\frac{6}{2}$

$n=3+3$

$n=6$

A reta pedida pelo exercício assume então a seguinte forma reduzida:

$y=-\frac{3}{2}x+6$

O exercício não especifica a forma que a equação deve ser dada, mas como a equação informada está na forma geral, vou transformar a equação que descobrimos da forma reduzida para a geral só por segurança:

$y=-\frac{3}{2}x+6$

$\frac{3}{2}x+y-6=0$

$\frac{3x}{2}+\frac{2y}{2}-\frac{12}{2}=0$

$\frac{3x+2y-12}{2}=0$

$3x+2y-12=0.2$

$3x+2y-12=0$