URGENTE!
Dados os vetores u→ = →OA, v→ = →CA, w→= →CB e z→= →OB onde O é a origem.
Sabendo que u→ − z→ = (1, 3) e u→ + w→ = (2, 8).
Determine u→ + v→ + w→ + z→, e encontre um ponto D tal que ABDC seja um paralelogramo.
Soluções para a tarefa
O valor de u + v + w + z é (4,18); O ponto D é (4,-6).
Do plano cartesiano, temos que os pontos O, A, B e C são:
O = (0,0)
A = (b,n)
B = (a,m)
C = (2b - a, m - n).
Portanto, podemos definir os vetores OA, CA, CB e OB:
OA = (b,n) = u
CA = (b - 2b + a, n - m + n) = (-b + a, 2n - m) = v
CB = (a - 2b + a, m - m + n) = (2a - 2b, n) = w
Ob = (a, m) = z.
Do enunciado, temos que u - z = (1,3). Então:
(b,n) - (a,m) = (1,3)
(b - a, n - m) = (1,3).
Assim:
{b - a = 1
{n - m = 3
Além disso, temos a informação de que u + w = (2,8). Logo:
(b,n) + (2a - 2b,n) = (2,8)
(2a - b, 2n) = (2,8)
Assim:
{2a - b = 2
{2n = 8.
Podemos afirmar que o valor de n é 4. Substituindo o valor de n em n - m = 3, concluímos que m é 1.
Os valores de a e b são 3 e 4, respectivamente.
Com isso temos que os vetores u, v, w e z são:
u = (4,4)
v = (-1,9)
w = (-2,4)
z = (3,1).
Portanto, a soma dos quatro vetores é igual a:
u + v + w + z = (4,18).
Vamos considerar que o ponto D é D = (x,y).
As diagonais do paralelogramo se cruzam no ponto médio.
Calculando o ponto médio da diagonal AD, obtemos:
M = ((3+5)/2, (1-3)/2)
M = (8/2,-2/2)
M = (4, -1).
Assim, temos que o ponto médio da diagonal AD também é (4,-1). Logo:
(4,-1) = ((4 + x)/2, (4 + y)/2)
x = 4 e y = -6.
O ponto D é (4,-6).