Matemática, perguntado por anavholanda, 7 meses atrás

URGENTE
Dados os pontos A(x, y), B(-y,x), 0(0,0). Prove que AÓB, é um ângulo reto.​

Soluções para a tarefa

Respondido por lucasgabrielalmeidad
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Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Pode ser que você tenha escrito as coordenadas errado, vou calcular com o que forneceu. Os pontos que você escreveu  são:

A(x,y)

B(-y,x)

O(0,0) (Esse parece meus resultados em filosofia)

Vamos provar usando a lei dos cossenos para descobrir o cos de AOB (vou simboliza-lo por meio de α para facilitar o cálculo que já tem muita letra) .

A distacia entre os pontos A e B é igual ao comprimento do lado oposto ao angulo AOB.

As distancias de O a A e B são os outros lados desse triangulo.

Vamos calcular AB:

AB²=[x-(-y)]²+(y-x)²

AB²=(x+y)²+(y-x)²

Vamos calcular OA

OA²=(0-x)²+(0-y)²

OA²=x²+y²

Vamos calcular OB

OB²=[0-(-y)]²+(0-x)²

OB²=y²+x²

Temos então que OA é igual a OB.

Vamos por na lei dos cossenos:

AB²=OA²+OB²-2*OA*OB*cosα

(x+y)²+(y-x)² =2*OA²-2OA²cosα

x²+2xy+y²+y²-2yx+x²=2*OA²-2OA²cosα

2x²+2y²=2*OA²-2OA²cosα

x²+y²=OA²-OA²cosα

Lembra que OA² vale x²+y²? Pois é:

OA²=OA²+OA²cosα

0=OA²cosα

Nós sabemos pelo problema que OA tem um comprimento qualquer, ou seja, ele não medir ser zero unidades de comprimento, portanto cosα vale 0 e pelo circulo trigonométrico sabemos que o único angulo cujo cosseno vale 0 no intervalo 0° a 180° é o 90°. Portanto infere-se que AOB=90°

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