URGENTE
Dados os pontos A(x, y), B(-y,x), 0(0,0). Prove que AÓB, é um ângulo reto.
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
Pode ser que você tenha escrito as coordenadas errado, vou calcular com o que forneceu. Os pontos que você escreveu são:
A(x,y)
B(-y,x)
O(0,0) (Esse parece meus resultados em filosofia)
Vamos provar usando a lei dos cossenos para descobrir o cos de AOB (vou simboliza-lo por meio de α para facilitar o cálculo que já tem muita letra) .
A distacia entre os pontos A e B é igual ao comprimento do lado oposto ao angulo AOB.
As distancias de O a A e B são os outros lados desse triangulo.
Vamos calcular AB:
AB²=[x-(-y)]²+(y-x)²
AB²=(x+y)²+(y-x)²
Vamos calcular OA
OA²=(0-x)²+(0-y)²
OA²=x²+y²
Vamos calcular OB
OB²=[0-(-y)]²+(0-x)²
OB²=y²+x²
Temos então que OA é igual a OB.
Vamos por na lei dos cossenos:
AB²=OA²+OB²-2*OA*OB*cosα
(x+y)²+(y-x)² =2*OA²-2OA²cosα
x²+2xy+y²+y²-2yx+x²=2*OA²-2OA²cosα
2x²+2y²=2*OA²-2OA²cosα
x²+y²=OA²-OA²cosα
Lembra que OA² vale x²+y²? Pois é:
OA²=OA²+OA²cosα
0=OA²cosα
Nós sabemos pelo problema que OA tem um comprimento qualquer, ou seja, ele não medir ser zero unidades de comprimento, portanto cosα vale 0 e pelo circulo trigonométrico sabemos que o único angulo cujo cosseno vale 0 no intervalo 0° a 180° é o 90°. Portanto infere-se que AOB=90°