Question

⚠️ URGENTE COM CONTA, POR FAVOR⚠️

Assinale a alternativa que apresenta uma afirmação correta.

a) Os pontos A (1, 3), B(-2, 2) e C(2, 2) estão alinhados.
b) Os pontos D(-1, -2), E( 1, 0) e F (3, 2) estão alinhados.
c) Os pontos H (3, 1), I (3, 4) e J(3, -2) formam os vértices de um triângulo.
d) Os pontos K(-3, -1), L (0, 2) e M (3, 5) formam os vértices de um triângulo.​

Answer 1

Resposta:

letra b

Explicação passo-a-passo:

a) para estar alinhados, os pontos devem pertencer a mesma equacao de reta. a Equacao da reta é dada por mx - y + c = 0, onde m é o coeficiente angular dado por:

$m = \frac{y_1-y_0}{x_1 - x_0}$

ou seja, se $m_A_B = m_A_C = m_B_C$, os pontos estão alinhados. Antes de calcular, vamos entender isso um pouco melhor.

m = tan ∅, onde ∅ é o angulo formado entre o eixo x e a reta, e indica a inclinacao da reta.

ordenando os pontos em funcao dos valores de x temos que

$x_A = 1 \\x_B = -2\\x_C = 3, logo \\x_B < x_A < x_C.$

para estarem alinhados a reta que liga os pontos B e C deve passar pelo ponto A, o que significa que a inclinacao da reta BC a mesma inclinacao da reta BA.

$m_A_B=\frac{2-3}{-2-1}=\frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}\\m_B_C = \frac{2-2}{2-(-2)} = \frac{0}{4} = 0 \\m_A_B \neq m_B_C$

por tanto os pontos nao estao alinhados

b) Mesma consideracao do item anterior,

$m_D_E=\frac{0-(-2)}{1-(-1)}=\frac{2}{2} = 1\\\\m_E_F = \frac{2-0}{3-1} = \frac{2}{2} = 1\\\\m_D_F = \frac{2-(-2)}{3-(-1)} = \frac{4}{4} = 1\\\\m_D_E = m_D_F = m_E_F$

Portanto, estao alinhados.

c) para ser vertices de um triangulo, os pontos nao podem estar alinhados, podemos usar o desenvolvimento anterior, colculando o coeficiente angular m da reta, mas nesse caso, basta observar que todos os pontos tem x = 3.

por tanto, esses pontos estao obviamentes alinhados, em uma reta paralela ao eixo y. (Desenhe esses pontos num plano cartesiano para perceber facilmente), mas se quiser, podemos provar usando o mesmo metodo da questao anterior

$m_H_I=\frac{4-1}{3-3}=\frac{3}{0} = infinito\\\\m_H_J = \frac{-2-1}{3-3} = \frac{-3}{0} = infinito\\\\m_I_J = \frac{-2-1}{3-3} = \frac{-3}{0} = infinito \\\\m_D_E = m_D_F = m_E_F = infinito$

Como dito no item a, m = tan α, onde α é o angulo entre o eixo x e a reta.

E qual angulo tem tangente = infinito? Resp: 90º

Logo a reta é perpendicular ao eixo x, e, portanto paralela ao eixo y, como exposto no inicio deste item

como x é constante = 3 para todos os pontos, comprova-se que os pontos estao alinhados e nao podem ser vertice de um triangulo

d) vamos usar o mesmo procedimento para verificar se os pontos estao alinhados

$m_K_L=\frac{2-(-1)}{0-(-3)}=\frac{3}{3} = 1\\\\m_K_M = \frac{5-(-1)}{3-(-3)} = \frac{6}{6} = 1\\\\m_L_M = \frac{5-2}{3-0} = \frac{3}{3} = 1\\\\m_K_L = m_L_M = m_K_M = 1$

Pelo mesmo principio do item b, os pontos entao alinhados, e nao sao vertice de um triangulo