Question

urgente! calcule o limite trigonométrico abaixo, preciso muito resolver isso x--> 0

(cos(x+a)-cos(x) ) / a

Answer 1

Vamos relembrar algumas propriedade da trigonometria e de limites.

1) Arco soma do Cosseno

$\fbox{\displaystyle Cos(a+b) = Cos(a).Cos(b) - Sen(a).Sen(b) }$

2) Relação fundamental da trigonometria

$\fbox{\displaystyle sen^2(x) + cos^2(x) = 1 }$

3) Limite da soma de duas funções

$\fbox{\displaystyle \lim_{x \to n} [ f(x) + g(x) ] = \lim_{x \to n} f(x) + \lim_{x \to n} g(x) }$

4) Limite fundamental ( um dos )

$\fbox{\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sen(x)}{x} = 1 }$

sabendo dessas propriedades, vamos para a questão.

Temos o seguinte limite para resolver :

$\fbox{\displaystyle \lim_{a \to \ 0} \frac{cos(x+a)-cos(x)}{a} }$

Vamos abrir arco soma do cosseno :

$\fbox{\displaystyle \lim_{a \to \ 0} \frac{cos(x).cos(a)-sen(x).sen(a) -cos(x)}{a} }$

Vamos separar essa os limites igual na propriedade 3

$\fbox{\displaystyle \lim_{a \to \ 0} \frac{-sen(x).sen(a)}{a}+ \lim_{a \to \ 0} \frac{cos(x).cos(a)-cos(x)}{a} }$

Note que o no limite da esquerda aparece o limite fundamental :

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sen(a)}{a} = 1$

então já podemos simplifica-lo

E no limite da direita podemos colocar o cos(x) em evidência.

Ficando assim :

$\fbox{\displaystyle -sen(x) + \lim_{a \to \ 0} \frac{cos(x).(cos(a)-1)}{a} }$

Agora vamos "racionalizar". Vamos multiplicar o limite no numerador e no denominador pelo conjugado da expressão $cos(a) - 1$, ou seja :

$\displaystyle \frac{cos(a)+1}{cos(a)+1}$

ficando assim :

$\fbox{\displaystyle -sen(x) + \lim_{a \to \ 0} \frac{cos(x).(cos(a)-1)}{a}.\frac{(cos(a)+1)}{(cos(a)+1)} }$

Ao fazer a distributiva no numerador vai dar o seguinte

$(cos(a)-1)(cos(a)+1) = cos^2(a) - 1$

é só fazer com calma que vc vai chegar nesse resultado.

Logo :

$\fbox{\displaystyle -sen(x) + \lim_{a \to \ 0} \frac{cos(x).(cos^2(a)-1)}{a.(cos(a)+1)} }$

Agora vamos usar a propriedade 1 ( relação fundamental da trigonometria)

Perceba que :

$\fbox{\displaystyle Sen^2(a) + Cos^2(a) = 1 \to Sen^2(a) = 1-Cos^2(a) }$

o lado direito da igualdade está muito parecido com o do limites, se colocarmos o -1 em evidência no limites,  vai aparecer exatamente o que queremos, ou seja :

$\fbox{\displaystyle -sen(x) + \lim_{a \to \ 0} \frac{cos(x).-1.(1-Cos^2(a))}{a.(cos(a)+1)} }$

Agora vamos substituir $1-cos^2(a) = sen^2(a)$

$\fbox{\displaystyle -sen(x) + \lim_{a \to \ 0} \frac{cos(x).-1.Sen^2(a)}{a.(cos(a)+1)} }$

Vamos escrever $sen^2(a)$ sendo $sen(a).sen(a)$ e colocá-lo do lado esquerdo. Assim :

$\fbox{\displaystyle -sen(x) + \lim_{a \to \ 0} \frac{-1.Sen(a).Sen(a).cos(x)}{a.(cos(a)+1)} }$

Repare que apareceu o Limite fundamental

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sen(a)}{a} = 1$

então já podemos simplifica-lo

$\fbox{\displaystyle -sen(x) + \lim_{a \to \ 0} \frac{-1.Sen(a).cos(x)}{(cos(a)+1)} }$

Agora vamos substituir a $\to$ 0  ( tendendo a 0 )

$\fbox{\displaystyle -sen(x) + \frac{-1.Sen(0).cos(x)}{(cos(0)+1)} }$

sabendo que :

$Sen(0) = 0$

$Cos(0) = 1$

então :

$\fbox{\displaystyle -sen(x) + \frac{-1.0.cos(x)}{(1+1)} \to -sen(x) + \frac{0}{2} \to -sen(x) }$

Portanto, concluímos que :

$\fbox{\displaystyle \lim_{a \to \ 0} \frac{cos(x+a)-cos(x)}{a} = -Sen(x) }$  

Comentário : esse Limite é a expressão da definição da derivada, então essa questão é a derivada da função Cosseno Pela definição ou Via limites.