Question

URGENTE!!!!! Binômio de newton!!!!!!!!!!

Answer 1

Temos o seguinte binômio:

$\sf \left(x {}^{2} - \frac{1}{x} \right) {}^{5}$

A questão pergunta qual coeficiente do termo em x⁴, para isso vamos usar o Termo geral do binômio, dado por:

$\boxed{\sf T_{p+1} = \binom{n}{p}a^{n-p}.b^{p} }$

Onde

• "a" e "b" representam o primeiro e o segundo termo do binômio;

• "p" a posição do termo;

• "n" expoente do binômio.

Sabendo disso vamos iniciar os cálculos.

• Temos nos seguintes dados:

$\sf \begin{cases} \sf a =x {}^{2} \\ \sf b = - \frac{1}{x} \\ \sf n = 5 \\ \sf p =? \end{cases}$

Substituindo os dados na fórmula:

$\sf T_{p+1} = \binom{n}{p}a^{n-p}.b^{p} \\ \\ \sf T_{p+1} = \binom{5}{p} .(x {}^{2} ) {}^{5 - p} . \left ( - \frac{1}{x} \right) {}^{p} \\ \\ \sf \sf T_{p+1} = \binom{5}{p} .x {}^{10 - 2p} . \left( - \frac{1 {}^{p} }{x {}^{p} } \right) \\ \\ \sf \sf T_{p+1} = \binom{5}{p} .x {}^{10 - 2p} . \frac{1}{x {}^{p} } \\ \\ \sf \sf T_{p+1} = \binom{5}{p} . \frac{x {}^{10 - 2p} }{x {}^{p} } \\ \\ \sf \sf T_{p+1} = \binom{5}{p} .x {}^{10 - 2p - p} \\ \\ \sf T_{p+1} = \binom{5}{p} . {x}^{10 - 3p}$

A questão quer saber o termo em x⁴, portanto vamos pegar essa expressão formada no expoente do termo "x" e igualar a 4.

$\sf 10 - 3p = 4 \\ \sf - 3p = 4 - 10 \\ \sf - 3p = - 6 .( - 1) \\ \sf 3p = 6 \\ \sf p = \frac{6}{3} \\ \boxed{\sf p = 2}$

Substituindo o valor de "p" na fórmula:

$\sf \sf T_{2+1} = \binom{5}{2} .x {}^{10 - 3.2} \\ \\ \sf \sf T_{3} = \binom{5}{2} .x {}^{10 - 6} \\ \\ \sf \sf T_{3} = \frac{5!}{2!(5-2)!}.x {}^{4} \\ \\ \sf T_{3} =\frac{5.4. \cancel{3!}}{2! \cancel{3!}}.x {}^{4} \\ \\ \sf T_{3} = \frac{20}{2.1} .x {}^{4} \\ \\ \boxed{\sf T_{3} = 10x {}^{4} }$

Espero ter ajudado