Question

Urgente!!
Aplique a regra de L'Hôpital para achar o limite. Ajudem pf, explicação passo a passo ​

Answer 1

Boa noite!!

A regra de L'Hospital consiste em derivar o limite encima e embaixo caso ao aplicar o limite obtivermos a indeterminação $\dfrac{0}{0}$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$.

Desse modo, resolvendo, temos:

a) Aplicando 0 no limite obtemos $\dfrac{0}{0}$, assim, aplicando L'Hospital:

$\lim_{x \to 0} \dfrac{(sen(x))'}{(5x)'} = \lim_{x \to 0} \dfrac{cos(x)}{5} = \dfrac{1}{5}$

b) Aplicando 2 no limite obtemos $\dfrac{0}{0}$, assim, aplicando L'Hospital:

$\lim_{x \to 2} \dfrac{(x^2-x-2)'}{(x^2-5x+6)'} = \lim_{x \to 2} \dfrac{2x-1}{2x-5} = \dfrac{3}{-1} = -3$

c) Aplicando 0 no limite obtemos $\dfrac{0}{0}$, assim, aplicando L'Hospital:

$\lim_{x \to 0} \dfrac{(2x +1 -e^x)'}{x'} = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 -e^x}{1} = 1$

h) Aplicando ∞ no limite obtemos $\dfrac{\infty}{\infty}$, assim, aplicando L'Hospital:

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{(ln(x))'}{(x^2)'} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{1}{x}}{2x} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{2x^2} = 0$

i) Aplicando ∞ no limite obtemos $\dfrac{\infty}{\infty}$, assim, aplicando L'Hospital:

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{(e^{3x})'}{(x^3)'} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3e^{3x}}{3x^2}$

Note que nesse caso ainda temos $\dfrac{\infty}{\infty}$, com isso, continuamos derivando:

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{(3e^{3x})'}{(3x^2)'} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(9e^{3x})'}{(6x)'} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{27e^{3x}}{6} = \infty$

k) Aplicando ∞ no limite obtemos $\dfrac{\infty}{\infty}$, assim, aplicando L'Hospital:

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{(e^x-1-x)'}{(x^2)'} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(e^x-1)'}{(2x)'}= \lim_{x \to \infty} \dfrac{e^x}{2} = \infty$

Espero ter ajudado, bons estudos!