Question

URGENTE AJUDA!!!

Considere a família de polinómios
P(x) = $x^3+6x^2+(k-1)x-12$ com k ∈ R

1) Sabendo que o resto da divisão inteira de P(x) por x-2 é 30, determine o valor de k;
2) Considere k = 6 e decomponha P(x) em fatores do 1º grau, sabendo que x = -3 é uma raíz simples desse polinómio;
3) Resolva a inequação P(x) < 0

Answer 1

Resposta: 1) k = 6;   2) P(x) = (x + 3)(x + 4)(x - 1);   3) S = ]- ∞, - 4[ ∪ ]- 3, 1[

Questão 1)

Seja um polinômio $P(x)$ e um binômio $ax+b$ admitindo uma raiz igual a $x'=-\frac{b}{a}$. Pelo Teorema do Resto, se dividirmos o polinômio $P$ pelo binômio $ax+b$, o resto será $r=P(x')$.  

Se o resto da divisão inteira de $P(x)=x^3+6x^2+(k-1)x-12$ por $x-2$ é $30$, temos que $x-2=0\iff x=2$ e, então:

$P(2)=2^3+6\cdot2^2+(k-1)\cdot 2-12=30$

$8+6\cdot4+(k-1)\cdot 2-12=30$

$8+24+(k-1)\cdot 2-12=30$

$20+(k-1)\cdot 2=30$

$20+(k-1)\cdot 2-20=30-20$

$(k-1)\cdot 2=10$

$\dfrac{(k-1)\cdot 2}{2}=\dfrac{10}{2}$

$k-1=5$

$k-1+1=5+1$

$\boldsymbol{\green{k=6}}$

Questão 2)

Se $k=6$, podemos afirmar que

$P(x)=x^3+6x^2+5x-12~~~~~~\text{para k-1=5 }.$

A forma decomposta de $P(x)$ em fatores do 1º grau é:

$P(x)=(x-x')(x-x'')(x-x''')$

Sabendo-se que $x=-\,3$ é uma raiz,

$P(x)=(x-(-3))(x-x'')(x-x''')=(x+3)(x-x'')(x-x''').$

Aplicaremos Briot-Ruffini para encontrar esses dois fatores faltantes mais rapidamente. Disponha a raiz no canto superior esquerdo e os coeficientes de $P(x)$ na primeira linha:

$\overline{\underline{\begin{array}{|r|l|}-\,3&1~~~~6~~~~~5~~-12\\\textsf{-----}&\textsf{-----------------------}\\&\end{array}}}$

Na segunda linha, desça o coeficiente $1$, multiplique-o pela raiz e some ao segundo coeficiente da primeira linha para que se forme o segundo elemento da segunda linha:

$\overline{\underline{\begin{array}{|r|l|}-\,3&1~~~~6~~~~~5~~-12\\\textsf{-----}&\textsf{-----------------------}\\\times&1~~~~3\end{array}}}$

Com esse coeficiente encontrado, multiplique pela raiz e some ao terceiro coeficiente da primeira linha para formar o próximo coeficiente. Repita novamente esse processo com o coeficiente que se formar até que se tenha $0$:

$\overline{\underline{\begin{array}{|r|l|}-\,3&1~~~~6~~~~~5~~-12\\\textsf{-----}&\textsf{-----------------------}\\\times&1~~~~3\,~-4~~~~~~0\end{array}}}$

Esta segunda linha denota os coeficientes de:

$P(x)=(x+3)(x^2+3x-4)$

Então basta fatorar este polinômio para que $P(x)$ esteja decomposto em fatores do 1º grau:

$P(x)=(x+3)(x^2-x+4x-4)$

$P(x)=(x+3)(x(x-1)+4(x-1))$

$\boldsymbol{\green{P(x)=(x+3)(x+4)(x-1)}}~,~~~~~x'=-\,3,x''=-\,4,x'''=1$

Questão 3) Resolver $P(x) < 0$

Veja que fatoramos $P(x)$ na questão anterior para resolver esta aqui. Então seja a inequação-produto:

$(x+3)(x+4)(x-1) < 0$

Denotando cada fator por uma função

$\begin{cases}~f(x)=x+3\\~g(x)=x+4\\~h(x)=x-1\end{cases}$

, estudaremos os seus sinais. Como o coeficiente angular de todas elas é positivo e igual a $1$, o gráfico delas é crescente. Com isso:

$~$

$f(x)=x+3\implies \begin{cases}f(x) > 0~~\text{se}~~x > - \,3\\f(x) = 0~~\text{se}~~x = - \,3\\f(x) < 0~~\text{se}~~x < - \,3\end{cases}$

$g(x)=x+4\implies \begin{cases}g(x) > 0~~\text{se}~~x > - \,4\\g(x) = 0~~\text{se}~~x = - \,4\\g(x) < 0~~\text{se}~~x < - \,4\end{cases}$

$h(x)=x-1\implies \begin{cases}h(x) > 0~~\text{se}~~x > 1\\h(x) = 0~~\text{se}~~x = 1\\h(x) < 0~~\text{se}~~x < 1\end{cases}$

Vamos representar geometricamente esses resultados por intervalos reais:

Obs.: como $P(x)$ é menor que zero, a ''bolinha branca'' indica que os valores indicados não pertencem ao intervalo.

$\begin{array}{l} f(x)\quad\!\overset{\red{------}}{\textsf{------------}}\!\!\underset{\!\!\!\!-\,3}{\circ}\!\!\overset{\!\blue{++++++++++++}}{\textsf{------------------------}}\!\!\!\blacktriangleright\end{array}$

$\begin{array}{l} g(x)\quad\!\overset{\red{----}}{\textsf{--------}}\!\!\underset{\!\!\!\!-\,4}{\circ}\!\!\overset{\blue{++++++++++++++}}{\textsf{-----------------------------}}\!\!\!\blacktriangleright\end{array}$

$\begin{array}{l} h(x)\quad\!\overset{\red{--------------}}{\textsf{---------------------------}}\!\!\underset{1}{\circ}\!\!\overset{\!\blue{++++}}{\textsf{---------}}\!\!\!\blacktriangleright\end{array}$

Agora, para apresentar o intervalo do produto, colocaremos os valores dos outros intervalos e aplicaremos as regras de sinais:

$\begin{array}{l} f(x)g(x)h(x)\quad\!\overset{\red{----}}{\textsf{--------}}\!\!\underset{\!\!\!\!-\,4}{\circ}\!\!\overset{\red{++}}{\textsf{-----}}\!\!\underset{\!\!\!\!-\,3}{\circ}\!\!\overset{\red{-----}}{\textsf{--------------}}\!\!\underset{1}{\circ}\!\!\overset{\!\blue{++++}}{\textsf{---------}}\!\!\!\blacktriangleright\end{array}$

A solução da inequação está nos negativos deste intervalo, visto que $P(x) < 0$. Logo, $x < -\,4$ ou $-\,3 < x < 1$. Portanto, seu conjunto solução em notação intervalo é:

$\boldsymbol{\green{S=\big]-\infty,-\,4\big[~\cup~\big]-\,3,1\big[}}$