Question

Urgente
a) Use a fórmula de redução para mostrar que ∫ sen²x dx = $\frac{x}{2}$ - $\frac{sen 2x}{4}$ + C

b) Use a parte (a) e a formóla de redução para calcular ∫ sen⁴x dx.

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo integral.

a) Use a fórmula de redução para mostrar que $\displaystyle{\int \sin^2(x)\,dx=\dfrac{x}{2}-\dfrac{\sin(2x)}{4}+C$.

Primeiro, considere a integral indefinida $I=\displaystyle{\int \sin^n(x)\,dx,~n>0$.

Podemos reescrever o integrando como o produto: $\sin^n(x)=\sin^{n-1}(x)\cdot \sin(x)$, de forma que tenhamos:

$I=\displaystyle{\int \sin^{n-1}(x)\cdot \sin(x)\,dx}$

Utilizamos a técnica de integração por partes, dada pela fórmula $\displaystyle{\int u\,dv=u\cdot v-\int v\,du}$, fazendo $u=\sin^{n-1}(x)$ e $dv=\sin(x)\,dx$.

Diferenciamos ambos os lados da expressão em $u$ e integramos a expressão em $dv$:

$\dfrac{d}{dx}(u)=\dfrac{d}{dx}(\sin^{n-1}(x))\\\\\\ \dfrac{du}{dx}=(n-1)\cdot\sin^{n-2}\cdot \cos(x)\\\\\\\Rightarrow du=(n-1)\cdot \sin^{n-2}(x)\cdot \cos(x)\,dx\\\\\\\ \displaystyle{\int dv=\int\sin(x)\,dx}\\\\\\ \Rightarrow v=-\cos(x)$

Substituindo estes elementos na fórmula teremos:

$I=\displaystyle{\sin^{n-1}(x)\cdot(-\cos(x))-\int (-\cos(x))\cdot (n-1)\cdot \sin^{n-2}\cdot \cos(x)\,dx}$

Multiplique os valores e aplique a linearidade: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot \int f(x)\,dx}$

$I=\displaystyle{-\sin^{n-1}(x)\cos(x)+(n-1)\cdot\int \sin^{n-2}\cdot \cos^2(x)\,dx}$

Utilize a identidade trigonométrica fundamental:

$\sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \Rightarrow \cos^2(x)=1-\sin^2(x)$

$I=\displaystyle{-\sin^{n-1}(x)\cos(x)+(n-1)\cdot\int \sin^{n-2}\cdot (1-\sin^2(x))\,dx}\\\\\\\ I=\displaystyle{-\sin^{n-1}(x)\cos(x)+(n-1)\cdot\left[\int \sin^{n-2}(x)\,dx-\int \sin^n(x)\,dx\right]}\\\\\\ I=\displaystyle{-\sin^{n-1}(x)\cos(x)+(n-1)\cdot\int \sin^{n-2}(x)\,dx-(n-1)\cdot I$

Some $(n-1)\cdot I$ em ambos os lados da igualdade e cancele os termos opostos

$n\cdot I=\displaystyle{-\sin^{n-1}(x)\cos(x)+(n-1)\cdot\int \sin^{n-2}(x)\,dx$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $n$

$I=\displaystyle{-\dfrac{\sin^{n-1}(x)\cos(x)}{n}+\dfrac{n-1}{n}\cdot\int \sin^{n-2}(x)\,dx$

Fazendo $n=2$, teremos o caso em a)

$\displaystyle{\int \sin^2(x)\,dx=-\dfrac{\sin^{2-1}(x)\cos(x)}{2}+\dfrac{2-1}{2}\cdot\int \sin^{2-2}(x)\,dx}\\\\\\\ \displaystyle{\int \sin^2(x)\,dx=-\dfrac{\sin(x)\cos(x)}{2}+\int1\,dx}$

Aplique a fórmula do arco duplo: $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\Rightarrow \sin(x)\cos(x)=\dfrac{\sin(2x)}{2}$ e calcule a integral: $\displaystyle{\int 1\,dx=\int x^0\,dx=x+C}$

$\displaystyle{\int \sin^2(x)\,dx=\dfrac{x}{2}-\dfrac{\sin(2x)}{4}~~\checkmark}$

b) Use o resultado em a) e a fórmula de redução para calcular $\displaystyle{\int \sin^4(x)\,dx}$

Utilizando a fórmula com $n=4$, temos:

$\displaystyle{\int \sin^4(x)\,dx=-\dfrac{\sin^{4-1}(x)\cos(x)}{4}+\dfrac{4-1}{4}\cdot\int \sin^{4-2}(x)\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int \sin^4(x)\,dx=-\dfrac{\sin^3(x)\cos(x)}{4}+\dfrac{3}{4}\cdot\int \sin^2(x)\,dx}$

Usando o resultado anterior, temos:

$\displaystyle{\int \sin^4(x)\,dx=-\dfrac{\sin^3(x)\cos(x)}{4}+\dfrac{3}{4}\cdot\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\sin(2x)}{4}\right)}\\\\\\\displaystyle{\int \sin^4(x)\,dx=-\dfrac{\sin^3(x)\cos(x)}{4}+\dfrac{3x}{8}-\dfrac{3\sin(2x)}{16}\right)}~~\checkmark$