Question

Urgente!! 20 pontos, pra melhor resposta passo a passo explicando.
O raio r e a altura h de um cilindro circular reto estão variando de modo a manter constante o volume V. Num determinado instante h=3cm e r=1cm e, neste instante a altura esta variando a uma taxa de 0,2 cm/s. A que taxa estará variando o raio neste instante?

Answer 1

Dados:

$H=3cm$

$R=1cm$

$\dfrac{dH}{dt}=0,2cm/s$

$\dfrac{dR}{dt}=?$

Solução:

$V=\pi.{R}^{2}.H\\V=\pi.({R}^{2}.H)$

$V=\pi.{1}^{2}.3=3\pi{cm}^{3}$

$\mathsf{\dfrac{dV}{dt}=\pi(2R.\dfrac{dR}{dt}.H+{R}^{2}.\dfrac{dH}{dt})}$

$\mathsf{3\cancel{\pi}=\cancel{\pi} (2.1.\dfrac{dR}{dt}.3+{1}^{2}.0,2)}$

$\mathsf{3=6\dfrac{dR}{dt}+0,2}\\\mathsf{6\dfrac{dR}{dt}=3-0,2}\\\mathsf{6\dfrac{dR}{dt}=2,8}\\\mathsf{\dfrac{dR}{dt}=\dfrac{2,8}{0,6}}$

$\huge\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{dR}{dt}=\dfrac{14}{3}cm/s}}}$

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

V = pi*r²*h ---  Derivando ambos os termos no tempo

dV/dt = pi*d(r²*h)/dt --- Aplicando a regra do produto

0 = pi*(2rhr' + r²h'), onde r' e h' são as taxas de variação do raio e da altura

(2rhr' + r²h') = 0

r' = -r²h' / 2rh

r' = -rh'/2h

r' = -(1*0,2)/(2*3)

r' = -1/30 cm/s