Question

URGENTE, 12 PONTOS:
O esquema a seguir represente parte da fazenda de Pedro. Ele se encontra a 2 km de uma cerca "m" , no ponto de um pasto, e precisa verificar a eletrificação da cerca, que forma parte dos limites retilíneo do pasto, e depois irá vistoriar um reservatório de água localizado no ponto Q, localizado a 1 km da cerca. Determine o ponto X da cerca no qual ele deve checar o seu funcionamento de modo que seu percurso, poligonal PXQ, seja o menor possível. Precisamente, considerando a projeção ortogonal de sobre a cerca, o ponto P, determine a distância AX e o percurso total PX+XQ.

Answer 1

Perceba que os triângulos ΔADX e ΔCQX são semelhantes.

Então, podemos dizer que:

$\frac{AD}{AX}= \frac{QC}{CX}$

Observe que AX + CX = AC. Logo, CX = AC - AX:

$\frac{AD}{AX}= \frac{DC}{AC - AX}$

Sendo AD = 2, QC = 1, AC = 4, temos que:

$\frac{2}{AX}= \frac{1}{4-AX}$

Multiplicando cruzado:

2(4 - AX) = AX

8 - 2AX = AX

8 = 3AX

AX = 8/3 km

Logo, CX = 4/3 km

Para calcular os valores de PX e XQ utilizaremos o Teorema de Pitágoras:

PX² = 2² + (8/3)²

PX² = 4 + 64/9

PX² = 100/9

PX = 10/3 km

e

QX² = 1² + (4/3)²

QX² = 1 + 12/9

QX² = 21/9

QX = √21/3 km

Portanto,

PX + XQ = 10/3 + √21/3

PX + XQ = (10 + √21)/3 km