Question

URGENTE

1) Seja um triângulo de vértices A (2,3); B (5,1); C (X,4). Sabemos que o baricentro do triângulo ABC coincide com o centro da circunferência de equação (x-3) ^2+(y-2)^2=8.
Determine o valor de X.​

Answer 1

Resposta:

m =2 ou m = -16

Explicação passo a passo:

Propriedade do baricentro:

"A distância do vértice até o baricentro é o dobro da distância do baricentro até o lado do triângulo."

Pelo enunciado, o Baricentro é G(3,2)

Assim, d(G,A)=2d(G,BC) ou d(G,BC) é a metade de d(G,A)

Calculemos primeiro a d(G;A)...

$d(G;A)=\sqrt { (x_G - x_A)^2 + (y_G - y_A)^2 } =\sqrt { (3 - 2)^2 + (2- 3)^2 }=\\\\ =\sqrt { 1^2 + (-1)^2 }=\sqrt {1 + 1 }=\sqrt[2]{2}$

Agora, a d(G;BC)...

$d(G,r) =\frac{| a.x_G + b.y_G+c | }{\sqrt[]{x_G ^{2} + y_G ^{2}}}$

A equação geral da reta que contém B e C é:

Para isso, vou trocar a notação x do enunciado por m, para não confundir com a variável independente na equação da reta.

$det\left[\begin{array}{ccc}x&y&1\\5&1&1\\m&4&1\end{array}\right] =0$

Preparando a expressão...

$x + y*m + 20 -m -4x -5y = 0\\\\-3x + y*(m-5) + 20 - m = 0\\\\ x_G + y_G*m + 20 -m -4x_G -5y_G = 0\\\\3 + 2m + 20 -m -12 -10 = 0\\\\m + 1= 0$

Assim, a distância de G até BC é:

$d(G,r) =\frac{|m+1 | }{\sqrt[]{3 ^{2} + (m-5) ^{2}}}$

E essa distância é a metade da distância de G até A

$\frac{|m+1 | }{\sqrt[]{9+(m-5)^2}} =\frac{1}{2}\sqrt{2}$

$(\frac{|m+1 | }{\sqrt[]{9+(m-5)^2}} )^2=(\frac{1}{2}\sqrt{2})^2$

$\frac{(m+1)^2 }{9+(m-5)^2} =\frac{1}{4}*2$

$\frac{(m+1)^2 }{9+m^2-10m+25} =\frac{1}{2}$

$\frac{(m+1)^2 }{m^2-10m+34} =\frac{1}{2}$

$2(m+1)^2 =m^2-10m+34$

$2m^2+4m+2 =m^2-10m+34$

$m^2 + 14m -32 =0$

vamos calcular as raízes .... hahaha

a = 1, b = 14, c = -32

delta = 14² - 4.1.(-32) = 196 + 128 =324

vamos precisar de $\sqrt{delta} =\sqrt{324} =18$

Logo, os possíveis valores de m são:

m = (-14 + 18)/2 = 4/2 = 2

ou

m = (-14 - 18)/2 = -32/2 = -16

Conclusão:

m =2 ou m = -16

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Provando ...

Se m = 2, então, C(2,4)

equação da reta que contém BC é:

$\left[\begin{array}{ccc}x&y&1\\5&1&1\\2&4&1\end{array}\right] =0$

x - 4x + 2y-5y +20-2 = 0

-3x -3y +18 = 0

Distância do ponto G até a reta:

$\frac{| -3*3 -3*2 +18 |}{\sqrt[2]{3^2+3^2}} =\frac{| 3 |}{\sqrt[2]{18}} =\frac{| 3 |}{3\sqrt[2]{2}} =\frac{1}{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2}$  que é a metade da distância de G até A

Se m = -16, então C(-16,4)

$\left[\begin{array}{ccc}x&y&1\\5&1&1\\-16&4&1\end{array}\right] =0$

x - 4x - 16y - 5y + 20 +16 = 0

-3x -21y + 36 = 0

x + 7y - 12 = 0

Distância do ponto G até a reta:

$\frac{| 3 +7*2 -12 |}{\sqrt[2]{1^2+7^2}} =\frac{|5|}{\sqrt[2]{1+49}} =\frac{| 5 |}{\sqrt[2]{50}} =\frac{5}{\sqrt[2]{25*2} } =\frac{5}{5\sqrt[2]{2} } =\frac{1}{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2}}{2}$  

que é a metade da distância de G até A

Portanto, os dois valores conferem com pedido!!

( ͡~ ͜ʖ ͡°)

Bons estudos!

Obs... Essa valeu um 500 pontos pela edição das fórmulas....