Question

URCA/2015.2 Uma
universidade possui
20 cotas de bolsa de Iniciação Científica
para distribuir entre 3 professores
pesquisadores. De quantas maneiras essa
divisão pode ser feita de modo que cada
professor receba pelo menos 5 bolsas?

Answer 1

NOTA PRÉVIA IMPORTANTE:

...Há resoluções eradas a esta questão a "circular" em alguns sites/blogues da "especialidade!! ..vamos resolver..


=> Temos 20 bolsas para distribuir por 3 professores

..restrição que cada professor receba PELO MENOS 5 bolsas ..logo 15 bolsas são distribuídas igualmente pelos 3 professores ( 3 . 5 = 15)

Como são 3 professores ...Isto implica que na verdade o problema se resume na atribuição das 5 bolsas que sobram ..pelos 3 professores

..ou por outras palavras ainda (designando os 3 professores por "x", "y" e "z") teremos de saber quantas são as raízes (N) inteiras e não negativas da equação:

X + Y + Z = 5 ...ou ainda C[(n + b -1), b] ..onde n = 3 e b = 5

Resolvendo:

N = C[(n + b -1), b]

N = C[(3 + 5 -1), 5]

N = C(7, 5)

N = 7!/5!(7-5)!

N = 7!/5!2!

N = 7.6.5!/5!2!

N = 7.6/2!

N = 42/2

N = 21 <-- maneiras de fazer a divisão proposta


Para que não fiquem quaisquer dúvidas de que são MESMO 21 maneiras vou passar a lista-las:

se "x" = 0 ...então y + z = 5 ...e neste caso as possibilidades para "y" e "z" são as seguintes:

y + z = 5

se

y = 0 ..z = 5

y = 1 ..z = 4

y = 2 ..z = 3

y = 3 ..z = 2

y = 4 ..z = 1

y = 5 ...z = 0

assim se x = 0 ..teremos as seguintes combinações:

0 + 0 + 5
0 + 1 + 4
0 + 2 + 3
0 + 3 + 2
0 + 4 + 1
0 + 5 + 0

se x = 1 ...então y + z = 4 ...e neste caso as possibilidades para "y" e "z" são as seguintes:

se

y = 0 ..z = 4

y = 1 ..z = 3

y = 2 ..z = 2

y = 3 ..z= 1

y = 4 ..z = 0

assim se x = 1 ..teremos as seguintes combinações:

1 + 0 + 4
1 + 1 + 3
1 + 2 + 2
1 + 3 + 1
1 + 4 + 0

se x = 2 ...então y + z = 3 ...e neste caso as possibilidades para "y" e "z" são as seguintes:

y = 0 ..z = 3

y = 1 ..z = 2

y = 2 ..z = 1

y = 3 ..z = 0

assim se x = 2 ..teremos as seguintes combinações:

2 + 0 + 3
2 + 1 + 2
2 + 2 + 1
2 + 3 + 0

seguindo o mesmo raciocínio teremos para x = 3

3 + 0 + 2
3 + 1 + 1
3 + 2 + 0

para x = 4

4 + 1 + 0
4 + 0 + 1

para x = 5

5 + 0 + 0

...estão demonstradas as 21 raízes da equação ..e que são o número de maneiras de distribuir as 5 bolas (que sobram) pelos 3 professores

Espero ter ajudado