Question

URCA(2013.1) Se k é a menor solução do sistema.
$\left\{\begin{matrix} log_{2}(x) + log_{ \frac{1}{2} }(y) = 4\ \textless \ br /\ \textgreater \ \\ log_{2}(x) + log_{2}(y) = 2 + log_{ \sqrt{2} }(8) \ \textless \ br /\ \textgreater \ \ \textless \ br /\ \textgreater \ \end{matrix}\right.$
Podemos afirmar que k² + 2k + 1 é :

a)9
b)8
c)4
d)25
e)2

Observação: A resposta deve ser bem detalhada e conter a explicação de cada passo em virtude da complexidade.​

Answer 1

log 2 (x)+ log 1/2 (y)=4

log 2 (x) +log 2 (y)=2 + log √2 (8)

log √2 (8)=n

(√2)^n=8

(2^1/2)^n=2³

2^n/2=2³

n/2=3

n=6

então, log √2 (8)=6

log 2 (x) - log 2 (y)=4

log 2(xy)=2+6

usando propriedades de logaritmo:

log(a)+log(b)=log(ab)

log(a)-log(b)=log(a/b)

log 2 (x/y)=4

log 2 (xy)=8

x/y=2⁴

xy=2^8

x/y=16

xy=256

x=16y

16y²=256

y=4

x=64

como pede a menor solução, k=4

k²+2k+1=(k+1)²=(4+1)²=25 //.

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Sistema de equações Logarítmicas :

Se k é a menor solução do sistema :

$\begin{cases} \mathtt{ \log_{2} x + \log_{\frac{1}{2}} y ~=~4 } \\ \\ \mathtt{ \log_{2} x + \log_{2} y ~=~2 + \log_{\sqrt{2}} 8 } \end{cases}$

Então k² + 2k + 1 = ???

$\begin{cases} \mathtt{ \log_{2} x + \dfrac{ \log_{2} y }{ \log_{2} \frac{1}{2} } ~=~4 } \\ \\ \mathtt{ \log_{2} xy~=~2 + 2 \cdot \log_{2} 2^3 } \end{cases} \to \begin{cases} \mathtt{ \log_{2} x + \dfrac{ \log_{2} y }{ \log_{2} 1 - \log_{2} 2 } ~=~4 } \\ \\ \mathtt{ \log_{2} xy ~=~2 + 6 } \end{cases}$

$\begin{cases} \mathtt{ \log_{2} x + \dfrac{ \log_{2} y }{ 0 - 1 } ~=~4 } \\ \\ \mathtt{ \log_{2}xy ~=~ 8 } \end{cases} \to \begin{cases} \mathtt{ \log_{2} x - \log_{2}y~=~4 } \\ \\ \mathtt{ \log_{2} xy ~=~ 8 } \end{cases}$

$\begin{cases} \mathtt{ \log_{2} \frac{x}{y}~=~4 } \\ \\ \mathtt{ \log_{2} xy ~=~8 } \end{cases} \to \begin{cases} \mathtt{ \dfrac{x}{y}~=~2^4 } \\ \\ \mathtt{ xy~=~2^8 } \end{cases}$

$\begin{cases} \mathtt{ x~=~16y } \\ \\ \mathtt{ 16y^2~=~256 } \end{cases} \to \begin{cases} \mathtt{ x~=~16y } \\ \\ \mathtt{ y^2~=~256 \div 16~=~16 } \end{cases}$

$\begin{cases} \mathtt{ x~=~16y } \\ \\ \mathtt{ y^{\cancel{2}}~=~4^{\cancel{2}} } \end{cases} \to \begin{cases} \mathtt{ x~=~16 \cdot \red{4} } \\ \\ \mathtt{ \red{ y~=~4 } } \end{cases}$

$\begin{cases} \boxed{\mathtt{ x~=~64 } } \\ \\ \boxed{\mathtt{ y~=~4 } } \end{cases}$

Perceba que 4 é a menor solução . então podemos ter que :

$\mathtt{k^2 + 2k + 1~=~(k + 1)^2 }$ , Então pegando na menor solução :

$\mathtt{ (k + 1)^2~=~( 4 + 1)^2 }$

$\mathtt{ (k + 1)^2~=~5^2 }$

$\mathtt{ \red{ (k + 1)^2~=~25 } }$

Alternativa D)

Espero ter ajudado bastante!)