Question

(UPF 2018) - Uma equipe esportiva composta por 5 jogadoras está disputando uma partida de dois tempos. No intervalo do primeiro para o segundo tempo, podem ser feitas até 3 substituições, e, para isso, o técnico dispõe de 4 jogadoras na reserva. O número de formações distintas que podem iniciar o segundo tempo é:

A) 120
B) 121
C) 100
D) 40
E) 36

Answer 1

Usando o princípio fundamental da contagem e o coeficiente binomial para o cálculo de probabilidades com repetição, É obtido a resposta b: 121 probabilidades.

nenhuma substituição: apenas uma probabilidade de ocorrer. (+ 1)

Uma substituição: temos 4 reservas e 5 jogadoras. Pelo Principio fundamental da contagem Temos 4*5 = 20 probabilidades (+20)

Duas substituições: Temos quatro reservas. ao selecionar uma para substituição, ainda sobram 3.

4*3 = 12.

Mas tanto faz escolher Ana e depois Beatriz ou Primeiro a Beatriz e depois a Ana.

Logo temos 12/2 = 6 probabilidades

Temos cinco jogadoras. Da mesma forma, escolhemos duas e obtemos 5*4 = 20

Mas como tanto faz quem será a primeira, dividi-se por 2 resultando em 10 probabilidades.

Pelo Principio fundamental da contagem 10*6 = 60 (+60)

Duas três substituições:

Tem 4*3*2 = 24 formas de escolher 3 substitutas com 3*2 = 6 repetições de "conjunto de jogadoras" (Ana, Beatriz, Claudia), (Ana, Claudia Beatriz),...

Logo temos 4 probabilidades.

Das jogadoras em campo, temos 5*4*3 possibilidades com 3*2 repetições.

Resultando assim em 5*2 = 10 probabilidades.

Assim a probabilidade dessa seleção é 10*4 = (+40 ).

Somando todas as probabilidades temos 1+20+60+40 = 121

Letra b.

Answer 2

Resposta:

Letra B: 121

Explicação passo a passo:

Esse é um caso de combinação, ou seja, a ordem das jogadoras do time que iram sair e das reservas que iram entrar não importa.

Muito importante lembrar que o técnico não é obrigado a fazer substituições no intervalo, logo temos a primeira possibilidade: nenhuma substituição = 1 possiblidade.

Agora, temos:

Para 1 jogadora que sai: $C5,1 = 5$ possibilidades

Para 1 jogadora que vai entrar: $C4,1 = 4$ possiblidades

Logo, o total de possiblidades para 1 substituição é $T = 5*4 = 20$

Para 2 jogadores que saem: $C5,2 = 10$ possibilidades

Para 2 jogadores que vão entrar: $C4,2 = 6$ possibilidades

Logo, o total de possibilidades para 2 substituições é $T = 10*6 = 60$

Para 3 jogadoras que saem: $C5,3 = 10$ possibilidades

Para 3 jogadores que vão entrar: $C4,3 = 4$ possibilidades

Logo, o total de possibilidades para 3 substituições é $T = 10 * 4 = 40$

Finalmente, vamos ver todas as possibilidades que esse técnico possui, lembrando que ele pode fazer nenhum, uma, duas ou três substituições:

$T = 1 + 20 + 60 + 40 = 121$ possibilidades