Question

(UPE) Dada a circunferência de equação cartesiana x2 + y2 + 4x – 6y – 12 = 0 e o ponto A(p, -1), podemos que o valor de “p”, para que o centro da circunferência, o ponto A e a origem dos eixos estejam alinhados, é :

Answer 1

Reduzindo a equação
$x^2 + y^2 + 4x - 6y - 12 = 0\\\\ (x+2)^2+(y-3)^2=25$

O centro da circunferência é (-2,3) e o raio 5.

Para que três pontos estejam alinhados a determinante deles deve valer 0. A origem é o ponto (0,0)

$\left[\begin{array}{ccc}p&-1&1\\-2&3&1\\0&0&1\end{array}\right] || \left[\begin{array}{ccc}p&-1\\-2&3\\0&0\end{array}\right] \\\\\\ d_{p1}=(p*3*1)=3p\\ d_{p2}=(-1*1*0)=0\\ d_{p3}=(1*-2*0)=0\\\\\\ d_{s1}=(1*3*0)=0\\ d_{s2}=(p*1*0)=0\\ d_{s3}=(-1*-2*1)=2\\\\\\ d_p=3p+0+0=3p\\ d_s=0+0+2=2\\\\\\ d_{et}=d_p-d_s\\ d_{et}=0\\ 0=3p-2\\ 3p=2\\ p= \frac{2}{3}$

Alternativa D.

Answer 2

Boa noite

seja equaçao geral da circunferência 

x² + 4x + y² - 6y - 12 = 0

vamos completar o quadrados
 
x² + 4x + 4 - 4 + y² - 6y + 9 - 9 - 12 = 0

equaçao reduzida 

(x + 2)² + (y - 3)² = 25

centro C(-2, 3) e raio r = 5 

agora os tres pontos

C(-2, 3), A(P, -1), O(0, 0)

seja a matriz 

-2    3     1    -2      3
P    -1     1     P     -1
0     0      1    0       0

det = 2 + 0 + 0 - 0 - 0 - 3P = 0 

3P = 2,   P = 2/3 (D)