Question

UPE-2015 Na figura representada a seguir, o segmento DE divide o trápezio ABCD em duas figuras de mesma área. Dados DC=26 cm e AB=54 cm.
Nessas condições,quanto mede o segmento AE?
a)13 cm
b)20 cm
c)27 cm
d)28 cm
e)40 cm

GABARITO é a alternativa ''e''

Answer 1

Considere o triângulo AED, sua área é dada por:

$\boxed{A_t=\frac{AE.DH}{2}}$

Considere o paralelogramo BCDE. Sua área é a metade da área do trapézio ABCD,

$\boxed{A_{p}=\frac{\frac{AB+DC}{2}.DH}{2}=\frac{(AB+DC).DH}{4}}$

As áreas do triângulo e do paralelogramo acima são iguais, pelo enunciado, logo podemos escrever, e depois calcular:

$\frac{AE.DH}{2}=\frac{(AB+DC)DH}{4}\\ \\ AE=\frac{AB+DC}{2}\\ \\ \boxed{AE=\frac{54+26}{2}=40}$

Answer 2

Nessas condições, o segmento AE mede 40 cm.

Vamos chamar o segmento BE de x.

Como AB é igual a 54 cm, então AE = 54 - x.

De acordo com o enunciado, a área do triângulo ADE é igual à área do trapézio BCDE.

A área do triângulo é igual a metade do produto da base pela altura, ou seja,

S' = (54 - x).h/2.

Já a área do trapézio é igual a metade do produto da soma das bases pela altura, ou seja,

S'' = (26 + x).h/2.

Igualando as duas áreas:

(54 - x).h/2 = (26 + x).h/2

54 - x = 26 + x

54 - 26 = 2x

2x = 28

x = 14 cm.

Portanto, o segmento AE mede:

AE = 54 - 14

AE = 40 cm.

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