UNITAU/2018: Um biólogo está realizando um experimento com duas culturas de bactérias. Ele constatou que a primeira, denominada B1, cresce a taxa de 20% por hora, e a segunda, denominada B2, cresce a taxa de 8% por hora. Considere que as quantidades iniciais de bacterias sao 1230 e 2460 respectivamente e adote log2=0,3 e log3=0,48. Dentre as alternativas abaixo, qual representa a melhor aproximação referente ao tempo necessário para que as duas culturas tenham o mesmo número de bacterias?
A) 3h15min
B)2h30min
C)7h30min
D)1h30min
E)9h45min
GABARITO letra C
Soluções para a tarefa
Alternativa C.
7h30min
Função que determina a quantidade de bactérias B1
Q1 = 1230.(1 + 20%)ⁿ
Q1 = 1230.(1 + 0,20)ⁿ
Q1 = 1230.(1,2)ⁿ
Função que determina a quantidade de bactérias B2
Q2 = 2460.(1 + 8%)ⁿ
Q2 = 2460.(1 + 0,08)ⁿ
Q2 = 2460.(1,08)ⁿ
Para que as duas culturas tenham o mesmo número de bactérias, temos:
Q1 = Q2
1230.(1,2)ⁿ = 2460.(1,08)ⁿ
(1,2)ⁿ = 2460.(1,08)ⁿ
1230
(1,2)ⁿ = 2.(1,08)ⁿ
Aplicamos logaritmo dos dois lados da equação.
log (1,2)ⁿ = log 2.(1,08)ⁿ
log (1,2)ⁿ = log 2 + log (1,08)ⁿ
n · log 1,2 = log 2 + n · log 1,08
log 1,2 = log 12/10 = log 12 - log 10
log 12 = log (2.2.3) = log 2 + log 2 + log 3
log 12 = 0,3 + 0,3 + 0,48 = 1,08
log 10 = 1
Então:
log 1,2 = 1,08 - 1 = 0,08
log 1,08 = log 108/100 = log 108 - log 100
log 108 = log (2.2.3.3.3) = log 2 + log 2 + log 3 + log 3 + log 3
log 108 = 0,3 + 0,3 + 0,48 + 0,48 + 0,48 = 2,04
log 100 = 2
Então:
log 1,08 = 2,04 - 2 = 0,04
Voltamos para a equação:
n · log 1,2 = log 2 + n · log 1,08
n · 0,08 = 0,3 + n · 0,04
0,08n = 0,3 + 0,04n
0,08n - 0,04n = 0,3
0,04n = 0,3
n = 0,3
0,04
n = 7,5
Então, o tempo será de 7 horas e meia.