( Unisa 2021 ) O polinômio p(x) = x4 - bx2 + c é divisível pelo polinômio q(x) = x2 + 3x + 2. O resto da divisão de p(x) por (x - k), em que k é a soma das duas menores raízes de p(x), é igual a:
(A) 25.
(B) 35.
(C) 40.
(D) 20.
(E) 30.
Por favor, resposta e explicação! Obrigada ^^
Soluções para a tarefa
Resposta:
C
Explicação passo-a-passo:
Olá!
Primeiro, é necessário dividir o polinômio p(x) por q(x). É possível fazer isso pelo método da chave:
x4 + 0x3 -bx² + 0x + c ÷ x² + 3x + 2
Executando as operações, você deve encontrar o polinômio x² - 3x +7 -b
Repare que, como o enunciado diz que p(x) é divisível, o resto será igual a 0. Portanto, executando as operações do método da chave, você obterá sistemas com as incógnitas "b" e "c", e descobrirá que elas valem, respectivamente, 5 e 4.
Sabendo que b=5, você perceberá que o polinômio p(x) é igual ao produto dos polinômios: (x²+3x+2) . (x²-3x+2), cujas raízes são -2 , -1 e 1, 2.
Como o enunciado diz que k é a soma das duas menores raízes, k = -2 + (-1) → k = -3.
Agora, você precisa dividir p(x) por (x-k), e pode fazer isso utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini:
1 0 -5 0 4 ÷ -3
Você obterá a sequência:
1 - 3 4 -12 40, em que o resto equivale ao último termo. Assim, verifica-se que o resto é 40.
Espero ter ajudado! Bons estudos!