Question

(Unirio-1998) Sejam Z1 e Z2 números complexos representados pelos afixos na figura abaixo. Então, qual é o produto (Z3) de Z1 pelo conjugado de Z2? Calcule e localize Z3 no plano de Argand-Gauss, abaixo.​

Answer 1

O número complexo $\mathsf{Z_3}$ é igual a $\mathsf{11+17i}$ — ou (11, 17) na forma de par ordenado — e sua localização no plano de Argand-Gauss encontra-se na imagem anexa.

Explicação

Sabemos que um número complexo é um par ordenado z = (a, b) em que tanto a quanto b pertencem ao conjunto dos números reais. Desse modo, é possível estabelecer uma correspondência recíproca entre um complexo z = (a, b) e um ponto P(a, b). Nessas condições, o ponto P é chamado de afixo ou imagem de z.

Observe, na imagem fornecida, que o afixo do complexo $\mathsf{Z_1}$ é o ponto (-1, 3). Logo, pode-se escrever $\mathsf{Z_1=(-1, 3).}$ Da mesma forma, conclui-se que $\mathsf{Z_2=(4, 5).}$ Escrevendo-os na forma algébrica, temos $\mathsf{Z_1=-1+3i}$ e $\mathsf{Z_2=4+5i.}$

Esta questão quer saber qual é o número $\mathsf{Z_3,}$ que é o produto de $\mathsf{Z_1}$ pelo conjugado de $\mathsf{Z_2.}$ Então, o número $\mathsf{Z_3}$ pode ser representado da seguinte forma:

$\boxed{\mathsf{Z_3=Z_1\cdot \overline{Z_2}.}}$

Sabemos que o conjugado de um complexo $\mathsf{z=a+bi}$ é $\mathsf{\overline{z}=a-bi.}$ Assim, temos $\mathsf{Z_2=4-5i.}$

Calculando o que se pede, segue que:

$\large\mathsf{Z_3=Z_1\cdot \overline{Z_2}}\\\\\\\large\mathsf{Z_3=(-1+3i)(4-5i)}\\\\\\\large\mathsf{Z_3=-4+5i+12i+15}\\\\\\\large\boxed{\mathsf{Z_3=11+17i}}$

Na forma de par ordenado, o número complexo $\mathsf{Z_3}$ fica representado por (11, 17). Veja sua localização no plano de Argand-Gauss na imagem anexa.

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