Question

(UNIOESTE-2016) - 21. A respeito do polinômio p(x)=(x^4−1)(x−1)^4 , é CORRETO afirmar que
A. possui 8 raízes distintas.
B. possui 4 raízes reais distintas.
C. possui apenas as raízes 1 e -1.
D. possui 4 raízes complexas não reais.
E. possui duas raízes reais e duas complexas não reais

RESPOSTA: E

Answer 1

Ola Brrossetto

P(x) = (x⁴ - 1)*(x - 1)⁴  

(x² + 1)*(x² - 1)*(x - 1)⁴  

(x² + 1)*(x + 1)*(x - 1)⁵ = 0

x + 1 = 0 ⇒ x = -1 

x - 1 = 0 ⇒ x = 1 (multiplicidade 5) 

(x² + 1) = 0 ⇒ x = i e x = -i 

E. possui duas raízes reais e duas complexas não reais

Answer 2

(UNIOESTE-2016) - 21. A respeito do polinômio p(x)=(x^4−1)(x−1)^4 , é CORRETO afirmar que
(x⁴ - 1)(x - 1)⁴  FAZER por partes  ( observa)

(x⁴ - 1)(x - 1)(x - 1)(x - 1)(x - 1) = 0
(x⁴ - 1(x² - 1x - 1x + 1))(x² - 1x - 1x + 1) = 0
(x⁴ - 1)(x² - 2x + 1)(x² - 2x + 1) = 0

1º) (x⁴ - 1) = 0

(x⁴ - 1) = ( x² + 1)(x² - 1)

(x² + 1) (x² - 1) = 0

(x² + 1) = 0
x² + 1 = 0
x² = - 1
x = + - √- 1  ( número complexo) observa
x=  + - √1(-1)  e  (-1) = i²
x =  +  - √1i²
x = + - 1i
x = + - i

(x² - 1) = 0
x²  - 1 = 0
x² = + 1
x = + - √1
x = + - 1

(x - 1)⁴ = ( x - 1)(x - 1)(x - 1)(x - 1)
(x - 1)⁴ = (x - 1)²(x - 1)²

(x - 1)² =
(x - 1)(x - 1) 
(x² - 1x - 1x + 1)
(x² - 2x + 1) = 0

x² - 2x + 1 = 0
a = 1
b = - 2
c = 1
Δ =b² - 4ac
Δ = (-2)² - 4(1)(1)
Δ = + 4 - 4
Δ = 0
se
Δ = 0 
x = - b/2a
x = -(-2)/2(1)
x = + 2/2
x = 1

(x - 1)²  
( X- 1)(x - 1) = 0 
x² - 2x + 1 = 0
a = 1
b = - 2
c = 1
Δ =b² - 4ac
Δ = (-2)² - 4(1)(1)
Δ = + 4 - 4
Δ = 0
se
Δ = 0 
x = - b/2a
x = -(-2)/2(1)
x = + 2/2
x = 1

SÃO

x = + - i
x = + - 1
x = 1
x = 1
    
x' = - i
x'' =  - 1
x''' = + i
x'''' = + 1
x''''' = 1
x'''''' = 1

( atenção) x = 1 (SÃO 3 raizes MESMO valor)
considera (1 (uma raiz)




A. possui 8 raízes distintas.
B. possui 4 raízes reais distintas.
C. possui apenas as raízes 1 e -1.
D. possui 4 raízes complexas não reais.
E. possui duas raízes reais e duas complexas não reais
DUAS reais
x = - 1
x = + 1

DUAS complexa
x = - i
x = + i