Question

Unifor ce Consedere a funcao f de IR em IR definida por f(x) =x+1/x e as afirmações

I f é impar
II f(1/x)=f(x)
III f(x) +f(1) = raiz de x +1/raiz de x se x > 0

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

temos a seguinte função:

$f(x) = x + \frac{1}{x}$

A partir da função vamos analisar cada uma das alternativas:

I A função f(x) é ímpar:

Dizemos que uma função é ímpar quando f(-x) = -f(x). Para averiguar se nossa f(x) é ímpar podemos trocar todos os x da função por -x e vermos se a expressão será igual a -f(x):

$- f(x) = - (x + \frac{1}{x})$

$- f(x) = - x - \frac{1}{x}$

Sabemos que f(-x) será:

$f( - x) = ( - x) + \frac{1}{( - x)}$

$f( - x) = - x - \frac{1}{x}$

Com isso temos que f(-x) = -f(x) logo a função é ímpar e a afirmativa I é verdade.

Poderíamos ter resolvido esse problema sabendo que a soma de duas funções ímpares é uma função ímpar, e que as funções f(x) = x e f(x) = 1/x são ímpares logo nossa função certamente também seria ímpar.

Segunda afirmativa:

f(1/x) = f(x)

Para resolver esse afirmativa basta substituir os x da função por 1/x:

$f( \frac{1}{x} ) = \frac{1}{x} + \frac{1}{( \frac{1}{x} )}$

$f( \frac{1}{x} ) = \frac{1}{x} + x$

Como a adição a ordem dos termos não altera o resultado podemos afirmar que sim f(1/x) = f(x). Logo a afirmativa II também é verdadeira.

Terceira afirmativa

$f(x) + f(1) = \sqrt{x} + \frac{1}{ \sqrt{x} }$

para x > 0

Sabendo que f(1) = 1 + 1/1 = 2 logo f(x) + f(1) = x + 1/x + 2

sabemos que:

$\sqrt{x} + \frac{1}{ \sqrt{x} } = \frac{x + 1}{ \sqrt{x} } = \frac{ \sqrt{x} (x + 1)}{x} = \sqrt{x} + \frac{ \sqrt{x} }{x}$

Essa expressão é diferente de x + 1/x + 2 logo a afirmativa III não é correta