Question

(Unifor CE 2014-1) Uma bola é jogada dentro de uma cesta cuja superfície é obtida girando a parábola y = x² em torno do eixo y. O centro da bola ocupa um ponto de altura y = 3 . O raio da bola é de :

$a) \sqrt{11}$
$b) \frac{ \sqrt{11} }{2}$
$c) \frac{ \sqrt{11} }{3}$
$d) \frac{ \sqrt{11} }{4}$
$e) \frac{ \sqrt{11} }{5}$

Answer 1

Primeira coisa: vc consegue ver o que esta acontecendo? Vc consegue visualizar o fato que estamos tentando calcular?

 

Bom, estamos numa quadra onde uma pessoa pega uma bola de basquete e arremessa no cesto. Acompanha o movimento da bola a partir do instante que a bola sai da mão dessa pessoa. Temos portanto o movimento de uma parábola, que seria um deslocamento de um corpo tanto no eixo x quanto no eixo y. Que na pratica seria uma bola que se desloca uma distancia (eixo x) e vai subindo ate uma certa altura e que depois cai (eixo y)

 

A superfície da cesta (a área dela) se dá ao redor desse eixo y (eu tenho nosso eixo y, o eixo que indica a nossa altura e a área seria um circulo ao redor do eixo) e segue a equação y = x² para desenha-la.

 

O centro da circunferência é um ponto central cujos pontos da figura (todos os pontos!!) apresentam a mesma distancia. Essa distancia é o RAIO.cada ponto possui a mesma distancia do centro (o mesmo raio).

 

Para encontrar as coordenadas do centro de uma circunferência utilizamos a equação reduzida da circunferência, que é definida como :

                                        

                                           (x – a)² + (y – b)² = R².

 

Onde 

a e b são as coordenadas 

x e y são da tangente ao circulo da bola 

R é o raio da bola.

 

No nosso caso, a bola encontra-se a 3 metros de altura, ou seja, nossas coordenadas são 0 (o ponto inicial) e 3 (a altura da bola), que podemos representar como (0,3).

 

Portanto, aplicando os valores na fórmula teremos:

 

(x – 0)² + (y – 3)² = R².

X² +(y-3)² = R²

Como o exercício fala que a tangente da parábola é dado por y = x²:

 

X² +(X² - 3)² = R² 

X² + (x²)² - 2.x².3 + 3² = R²

X² +x⁴ – 6x²+ 9 = R²

x⁴ -5x² + 9 - R²= 0

 

Se definirmos uma letra qualquer tipo... “v” = x² transformamos essa equação numa equação de segundo grau:

 

v² – 5v + 9 – R² = 0

 

Mas como a reta é tangente (cruza apenas em um ponto a circunferência) nosso discriminante (ou delta) deve ser igual a zero.

 

b² – 4ac = 0 

(-5)² – 4 . 1 . (9 – R²) = 0

25 – (4 . 9 - 4R²) = 0

25 – 36 + 4R² = 0

- 11 + 4R² = 0

4R² = 11

R² = 11/4

R= √11/√4 = √11/2

Alternativa B

Answer 2

Resposta:

raio  < (11^0.5)/2

Veja que se r=(11^0.5)/2, a BOLA NAO ENTRA NA CESTA, a resposta correta é r<(11^0.5)/2,  e a rigor NÃO há alternativa com respostas.

Explicação passo-a-passo:

x^2+(y-3)^2=r² e  x^2=y, pois a circunferência e a parábola precisam ter DOIS pontos em comum.

y+y^2-6y+9=K=>y^2-5y-K=0 =>Delta=0, Condição para que a circunferência e a parábola tenha DOIS pontos em comum. Se Delta=0, então  y=-b/2a.  

y=-b/2a=>-(-5)/2*1=>y=5/2 e x²=5/2=>x=+/-(5/2)^0.5 => P=((5/2)^0.5,  y=5/2) => Segmento de reta CP=r=>r^2=(xc-xp)^2+(yc-yp)^2=>r^2=(0-(5/2)^0.5)^2+(3-5/2)^2

r^2=5/2+(1/2)^2=>r^2=5/2+¼ => r²=10+1/4=r²=11/4=>r<(11/4)^0.5=>>r<(11^0.5)/2

x^2+(y-3)^2=((11/4)^0.5)²=>x^2+(y-3)^2=11/4

Detalhes com  gráfico acesse https://geoconic.blogspot.com/p/blog-page_62.html