Question

UNIFESP -- UMA DAS RAIZES DA EQUAÇÃO 2^2X - 8. 2^X+ 12=0 é 1, a outra raiz é? GABARITO : 1 + LOG 3/ LOG 2
minha resolução:
2^X=6 ==> LOG 6 na base 2 == transformei pra base 10 ficando => log 6/ log 2===>
log (2.3) / log 2 ===> log 3 - log 2 - log 2===> deu como resposta log 3
No que eu errei?

Answer 1

Não sei como chegou na resolução, logo vou primeiro fazer a correção do que foi postado e, em seguida, a solução completa.

Seu erro esta neste ponto:

$\dfrac{\log\,(2\cdot3)}{\log2}~=~\dfrac{\log2~+~\log3}{\log2}~=~\dfrac{\log2}{\log2}~+~\dfrac{\log3}{\log2}~=~\boxed{1~+~\dfrac{\log3}{\log2}}$

Observando atentamente a equação, é possível identificar uma semelhança com uma equação de 2° grau.

$2^{2x}~-~8\cdot2^x~+~12~=~0$

Vamos tentar então evidenciar essa semelhança.

Começamos aplicando a propriedade das potencias de potencia:

$\left(2^x\right)^2~-~8\cdot2^x~+~12~=~0$

Perceba que se substituirmos 2ˣ por uma variável, digamos "w", vamos "transformar" a equação em uma quadrática (2° grau):

$w^2~-~8w~+~12~=~0$

Resolvendo esta equação por Bhaskara (vou omitir este calculo), chegaremos a duas raízes:  w'=2  e  w''=6

Vamos agora voltar com a substituição.

$Para~~w'=2:\\\\2^x~=~2~~~\rightarrow~~Daqui~sai~a~raiz~ja~dada~no~enunciado~~x=1\\\\\\Para~~w''=6:\\\\2^x~=~6~~~~~\\\\\\Fatorando~6\rightarrow~6=2\cdot2\\\\2^x~=~2\cdot3\\\\Aplicando~logaritmo~de~base~2~nos~dois~lados~da~equacao\\\\\log_{_2}2^x~=~\log_{_2}\,(2\cdot3)\\\\x~=~\log_{_2}2~+~\log_{_2}3~~~\rightarrow~mudando~a~base~de~\log_{_2}3~para~10\\\\\boxed{x~=~1~+~\dfrac{\log3}{\log2}}$