Question

(UNIFESP) A porcentagem p de bactérias em
uma certa cultura sempre decresce em função do
número t de segundos em que ela fica exposta
à radiação ultravioleta, segundo a relação p(t) =
100 - 15t + 0,512
a. Considerando que p deve ser uma função
decrescente variando de 0 a 100, determine a
variação correspondente do tempo t (domínio
da função).
b. A cultura não é segura para ser usada se tiver mais de 28% de bactérias. Obtenha o tempo mínimo de exposição que resulta em uma cultura segura.​

Answer 1

A função correta é: p(t) = 100 - 15t + 0,5t²

a)

Se a função deve variar entre 0 e 100 (%), vamos achar os valores de "t" correspondentes:

$Para~p(t)=0:\\\\\\100-15t+0,5t^2~=~0\\\\\\Simplificando~a~equacao~por~0,5\\\\\\t^2-30t+200~=~0\\\\\\Aplicando~Bhaskara\\\\\\\Delta~=~(-30)^2-4.1.200~=~900-800~=~\boxed{100}\\\\\\t'~=~\frac{30+\sqrt{100}}{2~.~1}~=~\frac{30+10}{2}~=~\boxed{20}\\\\\\t''~=~\frac{30-\sqrt{100}}{2~.~1}~=~\frac{30-10}{2}~=~\boxed{10}$

$Para~p(t)=100:\\\\\\100-15t+0,5t^2~=~100\\\\\\0,5t^2-15t~=~0\\\\\\t^2-30t~=~0\\\\\\t.(t-30)~=~0\\\\\\\boxed{t'~=~0}\\\\\\t-30~=~0\\\\\boxed{t''~=~30}$

Perceba que, tanto para p(t) = 0 quanto para p(t) = 100, achamos dois possíveis valores para a variável "t".

Isso acontece, pois a função p(t) é do 2° grau (uma parábola) e, como tal, possui 2 raízes.

Teremos então que identificar qual par de raízes será o correto.

Vamos então lembrar que a parábola com concavidade voltada para cima, caso visto neste exercício, é decrescente até seu vértice, e crescente após o vértice. Para ficar mais claro, veja o gráfico da função p(t) em anexo.

Então, tanto para o caso p(t)=0 quanto para o caso p(t)=100, estamos interessados na raiz que está mais à esquerda. Sendo assim, ficamos com o par:

t = 10 segundos     [ p(t) = 0% ]

t = 0 segundos      [ p(t) = 100% ]  

O domínio fica: 0 ≤ t ≤ 10

b)

Queremos que p(t) ≤ 28%, logo:

$p(t)~\le~28\\\\\\100-15t+0,5t^2~\le~28\\\\\\0,5t^2-15t+72~\le~0\\\\\\t^2-30t+144~\le~0\\\\\\\Delta~=~(-30)^2-4.1.144~=~900-576~=~\boxed{324}\\\\\\t'~=~\frac{30+\sqrt{324}}{2~.~1}~=~\frac{30+18}{2}~=~\frac{48}{2}~=~\boxed{24}\\\\\\t''~=~\frac{30-\sqrt{324}}{2~.~1}~=~\frac{30-18}{2}~=~\frac{12}{2}~=~\boxed{6}$

Novamente achamos duas raizes. Como sabemos que o dominio da função é o intervalo [0 , 10], o valor t = 24 segundos deverá ser descartado.

Sendo assim, para que seja seguro, deve-se deixar a cultura exposta por um tempo minimo de 6 segundos.

Answer 2

Aqui vai um jeito mais rápido de responder a A

Temos a função y = 0,5 x2 – 15x + 100:

Aplicamos Bháskara e encontramos:

100 – 15x + 0,5x2 = 0 ⇒ x = 10 ou x = 20

Perceba que o gráfico irá formar um parábola com concavidade voltada para cima e raízes "10" e "20", porém, como as bactérias irão deixar de existir quando o tempo chegar a 10 não é necessário considerar o 20.