Question

(Unicamp) Um míssil é lançado horizontalmente em órbita circular rasante à superfície da Terra. Adote o raio da Terra R= 6.400 km e, para simplificar, tome 3 como valor aproximado de π. Use g=10m/s.
A) qual a velocidade de lançamento?
B) Qual o período da órbita?

Answer 1

Bom dia!

Para resolver essa questão, vamos considerar que o míssil descreve um Movimento Circular Uniforme (MCU) e que a aceleração centrípeta desse movimento é igual à aceleração gravitacional g=10m/s². O raio da trajetória é

$r=6.400\,km=6.400.000\,m$

a) Qual a velocidade do lançamento?

Para descobrir a velocidade do lançamento (que corresponde à velocidade do míssil todo o tempo, dado que ele está em MCU), vamos aplicar a fórmula da aceleração centrípeta:

$a=\frac{v^2}{r}$ 

onde a é a aceleração (gravidade!), v é a velocidade e r é o raio da trajetória. Assim, temos:

$10=\frac{v^2}{6.400.000}$ 
$64.000.000=v^2$
$v=\sqrt{64.000.000}$
$v=8000\,m/s$

Ou ainda:

$v=8\,km/s$

b) Qual o período da órbita?

O período pode ser obtido usando-se a fórmula (geral) da velocidade:

$v=\frac{\Delta{s}}{\Delta{t}}$

onde

$</span>\Delta{s}$ é o deslocamento
$\Delta{t}$ é o intervalo de tempo correspondente.

Agora, se considerarmos apenas uma volta, o intervalo de tempo na equação acima será o período T e o deslocamento será o perímetro da circunferência descrita pelo míssil. Ou seja,

$v=\frac{2\pi{r}}{T}$

Ou, invertendo a equação acima, temos:

$T=\frac{2\pi{r}}{v}$

Utilizando a velocidade que encontramos e o raio da Terra obtemos:

$T=\frac{2\pi{r}}{v}$
$T=\frac{2\cdot{3}\cdot{6.400.000}}{8000}$
$T=4800\,s$