Question

(Unicamp-SP) Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha-de-caju, castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo do amendoim custa R$ 5,00 , que o quilo da castanha-de-caju, R$20,00 e o quilo da castanha-do-pará R$16,00. Cada lata deve conter meio quilo de mistura, e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser R$5,75. Além disso, a quantidade de castanha-de-caju em cada lata deve ser igual a um terço da soma das quantida duas das outras duas.
a) Escreva o sistema linear que representa a situação descrita acima.

b) resolva o referido sitema e determine as quantidades de cada ingrediente por lata.​

Answer 1

a)

5,75 = 5x + 20y + 16z

0,5 = x + y + z

y = (x+z)/3

b)

0,5 = x + (x+z)/3 + z

0,5 = 3x/3 + (x+z)/3 + 3z/3

1,5 = 3x + x+z + 3z

1,5 = 4x + 4z

1,5 = 4.(x+z)

0,375 = x+z ⇒ z = 0,375 - x

...

0,5 = 0,375 + y

0,125 = y

...

5,75 = 5x + 20.0,125 + 16.(0,375-x)

5,75 = 5x + 2,5 + 6 -16x

11x = 8,5 -5,75

11x = 2,75

x = 0,25

...

z = 0,375-0,25

z = 0,125

R:

0,25 kg de amendoim

0,125 kg de castanha-de-caju

0,125 kg de castanha do Pará.

Answer 2

a) O sistema linear que representa a situação é:

x + y + z = 0,5

5x + 20y + 16z = 5,75

y = (1/3)·(x + z)

b) As quantidades de cada ingrediente são: 0,250 kg de amendoim, 0,125 kg de castanha-de-caju e 0,125 kg de castanha-do-pará.

Sistema de equações

Um sistema de equações é dado por um conjunto de equações com mais de uma variável.

a) Sejam x, y e z as quantidades de amendoim, castanha-de-caju e castanha-do-pará, respectivamente, teremos o seguinte sistema linear:

x + y + z = 0,5

5x + 20y + 16z = 5,75

y = (1/3)·(x + z)

b) Podemos reescrever esse sistema:

x + y + z = 0,5

5x + 20y + 16z = 5,75

-x + 3y - z = 0

Pelo método do escalonamento, teremos:

• L2 = L2 - 5L1 e L3 = L3 + L1

x + y + z = 0,5

   15y + 11z = 3,25

  4y = 0,5

Da terceira equação temos o valor de y:

y = 0,5/4

y = 0,125 kg

Com o valor de y encontramos z:

15·0,125 + 11z = 3,25

11z = 1,375

z = 0,125 kg

Finalmente, o valor de x:

x + 0,125 + 0,125 = 0,5

x = 0,5 - 0,25

x = 0,250 kg

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