Question

(UNICAMP – SP) A figura ao lado apresenta um prisma reto cujas bases são hexágonos regulares. Os lados dos hexágonos medem 5cm cada um e a altura do prisma mede 10cm.

Answer 1

a) Volume do Prisma

Bom, é necessário calcular a área da base, ou seja, a área do hexágono. Como ele é formado por 6 triângulos equiláteros, possuindo 5cm de lado (l), a altura de um dos triângulos equiláteros (h') (utilizando Pitágoras), será:

h' ² = l² - (l/2)²
h' ² = 5² - (5/2)²
h' ² = 25 - 25/4
h' = 5/2√3

Sabendo que a área de um triângulo equilátero se dá pela altura (h') vezes sua base (l) sobre 2, temos que essa área é:

At= (5 . 5/2√3)/2
At = 25√3/4

Como um hexágono regular é formado por 6 triângulos regulares, temos que sua área é equivalente à:

Ah = At . 6
Ah = 75√3/2

Portanto o volume do prima será:

V = Ah . h
V = 375√3

b) A área da Seção

A área da seção seria a área de um quadrilátero AA'CC', dessa forma temos que calcular a distância (x) entre do segmento AC. Sabendo que o ângulo de todo hexágono regular é 120º, utilizando a Lei dos Cossenos, temos:

x²= l² + l² -2.l.l.cos120º

Como cos120º=-1/2,

x² = 25 + 25 -2.25.(-1/2)

x²=75

x=5√3

Com isso podemos calcular tal área:

As = h.x

As = 50√3