Question

(UNICAMP) Seja a Matriz A , quadrada de ordem 3 . Suponha , agora, que aij = 0 para todo elemento em que j > i , e que aij = i-j+1 para elementos em que j < ou = i . Determine a Matriz A , nesse caso , e calcule sua transposta , A T (T elevado ) ​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:Uma matriz A, m × n (m por n), e uma tabela de ´ mn numeros dispostos em ´ m linhas

e n colunas

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

.

am1 am2 . . . am

ai1 ai2

. . . ain

,

1

2 Matrizes e Sistemas Lineares

para i = 1, . . . , m e a j-´esima coluna de A e´

a1j

a2j

.

.

.

amj

para j = 1, . . . , n. Usamos tambem a notac¸ ´ ao˜ A = (aij)m×n. Dizemos que aij ou [A]ij

e o´ elemento ou a entrada de posic¸ao˜ i, j da matriz A.

Se m = n, dizemos que A e uma ´ matriz quadrada de ordem n e os elementos

a11, a22, . . . , ann formam a diagonal (principal) de A.

Exemplo 1.1. Considere as seguintes matrizes:

A =

1 2

3 4

, B =

−2 1

0 3

, C =

1 3 0

2 4 −2

,

D =

1 3 −2

, E =

1

4

−3

e F =

3

.

As matrizes A e B sao 2 ˜ × 2. A matriz C e 2 ´ × 3, D e 1 ´ × 3, E e 3 ´ × 1 e F e 1 ´ × 1.

De acordo com a notac¸ao que introduzimos, exemplos de elementos de algumas das ˜

matrizes dadas acima sao˜ a12 = 2, c23 = −2, e21 = 4, [A]22 = 4, [D]12 = 3.

Uma matriz que so possui uma linha ´ e chamada ´ matriz linha, e uma matriz que

so possui uma coluna ´ e chamada ´ matriz coluna, No Exemplo 1.1 a matriz D e uma ´

matriz linha e a matriz E e uma matriz coluna. ´

Dizemos que duas matrizes sao iguais se elas t ˜ em o mesmo tamanho e os elementos ˆ

correspondentes sao iguais, ou seja, ˜ A = (aij)m×n e B = (bij)p×q sao˜ iguais se m = p,

n = q e aij = bij para i = 1, . . . , m e j = 1, . . . , n.

Matrizes Vetores e Geometria Anal´ıtica Marc¸o 2012

1.1 Matrizes 3

Vamos definir operac¸oes matriciais an ˜ alogas ´ as operac¸ ` oes com n ˜ umeros e provar ´

propriedades que sao v ˜ alidas para essas operac¸ ´ oes. Veremos, mais tarde, que um ˜

sistema de equac¸oes lineares pode ser escrito em termos de uma ˜ unica equac¸ ´ ao ma- ˜

tricial.

Vamos, agora, introduzir as operac¸oes matriciais. ˜

1.1.1 Operac¸oes com Matrizes ˜

Definic¸ao˜ 1.1. A soma de duas matrizes de mesmo tamanho A = (aij)m×n e B = (bij)m×n e definida como ´

sendo a matriz m × n

C = A + B

obtida somando-se os elementos correspondentes de A e B, ou seja,

cij = aij + bij ,

para i = 1, . . . , m e j = 1, . . . , n. Escrevemos tambem´ [A + B]ij = aij + bij.

Exemplo 1.2. Considere as matrizes:

A =

1 2 −3

3 4 0

, B =

−2 1 5

0 3 −4

Se chamamos de C a soma das duas matrizes A e B, entao˜

C = A + B =

1 + (−2) 2 + 1 −3 + 5

3 + 0 4 + 3 0 + (−4)

=

−1 3 2

3 7 −4

Marc¸o 2012 Reginaldo J. Santos

4 Matrizes e Sistemas Lineares

Definic¸ao˜ 1.2. A multiplica¸c˜ao de uma matriz A = (aij)m×n por um escalar (numero) ´ α e definida pela matriz ´

m × n

B = αA

obtida multiplicando-se cada elemento da matriz A pelo escalar α, ou seja,

bij = α aij ,

para i = 1, . . . , m e j = 1, . . . , n. Escrevemos tambem´ [αA]ij = α aij. Dizemos que a matriz B e um ´ m ´ultiplo

escalar da matriz A.

Exemplo 1.3. O produto da matriz A =

−2 1

0 3

5 −4

pelo escalar −3 e dado por ´

−3 A =

(−3)(−2) (−3) 1

(−3) 0 (−3) 3

(−3) 5 (−3)(−4)

6 −3

0 −9

−15 12

Definic¸ao˜ 1.3. O produto de duas matrizes, tais que o n ´umero de colunas da primeira matriz ´e igual ao

n ´umero de linhas da segunda, A = (aij)m×p e B = (bij)p×n e definido pela matriz ´ m × n

C = AB

Matrizes Vetores e Geometria Anal´ıtica Marc¸o 2012

1.1 Matrizes 5

obtida da seguinte forma:

cij = ai1b1j + ai2b2j + . . . + aipbpj, (1.1)

para i = 1, . . . , m e j = 1, . . . , n. Escrevemos tambem´ [AB]ij = ai1b1j + ai2b2j + . . . + aipbpj.

A equac¸ao ( ˜ 1.1) esta dizendo que o elemento ´ i, j do produto e igual ´ a soma dos pro- `

dutos dos elementos da i-esima linha de ´ A pelos elementos correspondent