Question

Unicamp – 2018 – Sejam a e b números reais tais que a matriz A = 1 2 0 1 satisfaz a equação A2= aA + bI, em que I é a matriz identidade de ordem 2.Qual o produto ab ?

Answer 1

Resposta:

Ver abaixo

Explicação passo-a-passo:

Seja A=[ 1 2 0 1 ] e considere a,b ℝ tais que A²=aA+bI. Assim:

A²=[ 1 2 0 1 ].[ 1 2 0 1 ]=[ 1 4 0 1 ]=a[ 1 2 0 1 ]+b[ 1 0 0 1 ]

⇒ [ 1 4 0 1 ] = [ + 2 0 + ]

Desse modo,

2a=4 ⇒ a=2.

Como a+b=1,

então b=1-2=-1.

Assim, a.b=2(-1)=-2

Answer 2

O produto entre os termos a e b  é igual a -2.

Explicação:

Dados:

$A = \left[\begin{array}{cc}1&2\\0&1\end{array}\right]$

$I = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

$A^2=a\cdot A + b \cdot I$

Determinar: $a\cdot b =?$

Para simplificar a solução deste exercício, vamos separar as operações matriciais apresentadas na equação do enunciado e, depois, juntá-las novamente.

• Matriz A elevada ao quadrado:

$A^2=\left[\begin{array}{cc}1&2\\0&1&\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}1&2\\0&1&\end{array}\right]$

Lembrando: quando multiplicamos duas matrizes, devemos multiplicar cada um dos termos da primeira linha da primeira matriz com cada termo da primeira coluna da segunda matriz. Em seguida, passamos para a multiplicação dos termos da segunda linha da primeira matriz com o os termos da primeira coluna da segunda matriz. Por fim, o mesmo procedimento de cálculo deve ser realizado para a segunda coluna da segunda matriz.

Desta forma, temos que:

$A^2=\left[\begin{array}{cc}1\cdot 1+2\cdot 0&1\cdot 2+2\cdot 1\\0\cdot 1+1\cdot 0&0\cdot2+1\cdot 1&\end{array}\right]$

$A^2=\left[\begin{array}{cc}1+0&2+2\\0+0&0+1&\end{array}\right]$

$A^2=\left[\begin{array}{cc}1&4\\0&1&\end{array}\right]$

• Produto entre a e a matriz A:

$a\cdot A=a\cdot \left[\begin{array}{cc}1&2\\0&1\end{array}\right]$

Lembrando: quando fazemos o produto de um escalar (como é o caso de a e b neste exercício), com uma matriz, basta aplicarmos a propriedade distributiva da multiplicação.

Assim, temos que:

$a\cdot A=\left[\begin{array}{cc}1\cdot a&2 \cdot a\\0\cdot a&1 \cdot a\end{array}\right]$

$a\cdot A=\left[\begin{array}{cc}a&2 \cdot a\\0&a\end{array}\right]$

• Produto entre b e a matrix identidade (I):

$b\cdot I=b\cdot \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

$b\cdot I= \left[\begin{array}{cc}1\cdot b&0\cdot b\\0\cdot b&1\cdot b\end{array}\right]$

$b\cdot I= \left[\begin{array}{cc}b&0\\0&b\end{array}\right]$

Substituindo os valores encontrados na equação do enunciado:

$\left[\begin{array}{cc}1&4\\0&1\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}a&2 \cdot a\\0&a\\\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}b&0\\0&b\\\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}1&4\\0&1\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}a+b&2 \cdot a+0\\0+0&a+b\\\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}1&4\\0&1\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}a+b&2 \cdot a\\0&a+b\\\end{array}\right]$

Comparando os termos das matrizes à esquerda e à direita da igualdade, termos o seguinte par de equações:

$\large{\left \{ {{2\cdot a=4 } \atop {a+b=1}} \right.}$

Resolvendo sistema:

• 1ª equação:

$2\cdot a=4$

$a=\frac{4}{2}$

$\bold{a=2}$

• 2ª equação:

$a+b=1$

$2+b=1$

$b=1-2$

$\bold{b=-1}$

Finalmente, o produto entre a e b é tal que:

$a\cdot b=2 \cdot \left( \right -1)$

$\bold{a\cdot b=-2}$

Alternativa a.

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