Question

(UNICAMP-2015) No mundo das ideias, tanto Platão quanto Aristóteles concordam que a equação abaixo possui exatamente cinco raízes. Para eles, apens uma raiz é real. Mostre que de fato a equação possui apenas uma raiz real
x^5 + x^4 + 4x³ + 4x² + 3x + 3 = 0
GABARITO: está escrito apenas que basta fatorar, eu fatorei mas não sei o que fazer depois.

Answer 1

Bom dia 

Acho que é mais do que fatorar.

As possíveis raízes racionais são da forma :

$\pm \frac{p}{q}$  onde  p é divisor de $a_{0}$ e q é divisor

de  $a_{n}$

Temos então que as possíveis raízes racionais de  x^5+x^4+4x³+4x²+3x+3 

são     $\pm 1\quad\quad e\quad\quad \pm3$

Testando com Briot-Ruffini   [  ver anexo  ] descobrimos que -1 é raiz  e o

polinômio fatorado fica  (x+1)(x^4+4x²+3).

Vamos resolver a equação  x^4+4x²+3=0 , fazendo x²=y e x^4=y² temos 

y²+4y+3=0 que tem Δ=4 e raízes  y'=-3 e y''=-1   o que nos da 

x² = -3   e  x² = -1  que vão gerar  4 raízes complexas.