Question

(UNESPAR - adaptada) A respeito de um cubo inscrito em uma superfície esférica de raio R, são feitas as seguintes afirmativas:

I. O volume do cubo é maior que o volume da esfera.
II. O volume do cubo é
III. O comprimento da aresta do cubo é
IV. O volume da esfera é igual ao volume do cubo.

É correto apenas o que se afirma em
Escolha uma:
a. II.
b. III e IV.
c. III.
d. I.
e. IV.

Answer 1

As afirmações são:

I O volume do cubo é maior que o volume da esfera.

II O volume do cubo é v = 8R³/3√3 .

III O comprimento da aresta do cubo é a = √3•R.

 IV O volume da esfera é igual ao volume do cubo.

Se um cubo está inscrito em uma esfera de raio R, o comprimento diagonal de uma face até a face oposta é igual a 2R (diâmetro da esfera). O comprimento da diagonal de uma face se dá por Pitágoras:

X² = a² + a² = 2a²

X = a √2

Dessa forma, podemos calcular a aresta do cubo, analisando uma face retangular e aplicando Pitágoras:

a² + (a √2) ² = (2R)²

3a² = 4R²

R² = (3a²) / 4

R = a √3 / 2

a = 2 R / √3

Com essas informações, vamos às afirmações:

I – O volume do cubo é: V = a³ = (2 R / √3)³ = 1,54 R³

O volume da esfera é: V = (4 / 3 ) x π x R³ = 4,19 R³

O volume da esfera é maior. Alternativa incorreta.

II – O Volume do cubo é: V = (2 R / √3)³  = 8 R ³ / 3 √3

Alternativa correta.

III – a = 2 R / √3. Alternativa incorreta.

IV – Os volumes são diferentes. Alternativa incorreta.

A única afirmação correta é a II. Logo, a alternativa a ser assinalada na questão é "a)".