Question

(UNESP) Se o ângulo (2x) pertence ao primeiro quadrante e tg2x = 2, calcule o valor de tgx.
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Answer 1

Vamos lá.  

Veja que:

tg(x+y) = (tgx+tgy) / (1-tgx.tgy)

Quando x = y, temos, então:  

tgx(x+x) = (tgx + tgx) / (1-tgx.tgx)  

tg2x = (2tgx) / (1 - tg²x) -------mas, como tg2x = 2, então:  

2 = 2tgx / (1 - tg²x) -------multiplicando em cruz, ficamos com:  

(1-tg²x)*2 = 2tgx  

2 - 2tg²x = 2tgx

2 - 2tg²x - 2tgx = 0 -------ordenando, ficamos com:  

-2tg²x - 2tgx + 2 = 0 -----Para facilitar os trbalhos, vamos multiplicar ambos os membros por (-1), ficando:  

2tg²x + 2tgx - 2 = 0 -------dividindo ambos os membros por "2", ficamos com:  

tg²x + tgx - 1 = 0 -----resolvendo essa equação do 2º grau por Bháskara, encontramos as seguintes raízes:  

tgx = [-1+-V(1²-4.1.(-1)] / 2.1)

tgx = [-1+-V1+4] / 2

tgx = (-1+-V5) / 2 ------------daqui você conclui que:  

tgx' = (-1 - V5) / 2  

tgx'' = (-1 + V5) / 2

Como, conforme o enunciado da questão, "x" pertence ao 1º quadrante, onde tanto o seno como o cosseno são positivos, logo tgx também será positiva, pois tgx = senx/cosx. Assim, tomaremos apenas a raíz positiva e igual a:  

tgx = (-1 + V5)/2 <-----Pronto. Essa é a resposta.