Question

(UNESP) Considere os números complexos W=4+2i e z= 3a+4ai, onde a e um número real positivo e i indica a unidade imaginária. Se, em centímetros, a altura de um triângulo é |z| e a base é a parte real de z,w, determine a de modo que a área do triângulo seja 90 cm ao quadrado

Answer 1

Resposta:

a = 3 cm

Explicação passo-a-passo:

Oi! Para começarmos a resolver esse execício, vamos descobrir quanto vale a altura (h) do triângulo. Se a altura é |z|, temos que descobrir quanto vale o módulo de z. Essa fórmula ( $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ ) é utilizada para descobrir o módulo de um número imaginário $z=a+bi$ .

$|z|=\sqrt{(3a)^2+(4a)^2}\\\\|z|=\sqrt{9a^2+16a^2}\\\\|z|=\sqrt{25a^2}\\\\\boxed{|z|=5a}~\rightarrow~h$

Agora, vamos descobrir quanto vale a base (b) do triângulo. A base é dada pela parte real (parte que não tem i) de $z\cdot{w}$. Efetuando essa multiplicação temos:

$z\cdot{w}=(3a+4ai)(4+2i)=12a+6ai+16ai-8a=4a+22ai\\\\\boxed{\Re(z\cdot{w})=4a}~\rightarrow~b$

A área e um triângulo é dada por: $A=\dfrac{b\cdot{h}}{2}$. Então, vamos substituir as informações que nós temos na fórmula.

$90=\dfrac{4a\cdot5a}{2}\\\\90\cdot2=20a^2\\\\\dfrac{90\cdot2}{20}=a^2\\\\9=a^2\\\\\sqrt{9}=a\\\\\boxed{a=3~cm}$

Espero ter ajudado. Qualquer dúvida pode deixar nos comentários. Bons estudos! ♥️