Question

(Unesp/2006) Considere o polinômio p(x) = x³ + bx² + cx + d, onde b, c e d são constantes reais. A derivada de p(x) é, por definição, o polinômio p'(x) = 3x² + 2bx + c. Se p'(1) = 0, p'(-1) = 4 e o resto da divisão de p(x) por x - 1 é 2, então o polinômio p(x) é:
x³ – x² + x + 1.
x³ – x² – x + 3.
x³ – x² – x – 3.
x³ – x² – 2x + 4.
x³ – x² – x + 2.

Answer 1

Boa noite!

p'(1)=0
$p'(1)=0\\3(1)^2+2b(1)+c=0\\2b+c=-3$

p'(-1)=4
$p'(-1)=4\\3(-1)^2+2b(-1)+c=4\\-2b+c=1$

Somando-se as duas últimas equações:
$2b+c+(-2b+c)=-3+1\\2c=-2\\c=-1$

Agora, substituindo-se em qualquer das duas:
$-2b+c=1\\-2b+(-1)=1\\-2b=2\\b=-1$

E, por último, resto da divisão por x-1 valer 2, é o mesmo que p(1)=2.
$p(1)=1^3+b(1)^2+c(1)+d=2\\1-1-1+d=2\\d=3$

Então, finalmente:
$p(x)=x^3-x^2-x+3$

Espero ter ajudado!